Entender una función

Question

Estoy tratando de entender la siguiente función:

Dejemos que ${(r_1,r_2,r_3,...)}$ sea una enumeración del conjunto de números racionales. Para cada $r_nQ$ , dene $u_n(x)= \begin{cases} 1/2^n & \quad \text{if } x>r_n \\ 0 & \quad \text{otherwise} \end{cases}$

Ahora, dejemos que $h(x)=\sum_{n=1}^ u_n(x)$ .

Así que traté de considerar $x = 0$ entonces $h(0)=\sum_{n=1}^ u_n(0)$ Sé que esto es una sub-serie de $\sum\frac{1}{2^n}$ pero tengo problemas para ir más allá.

Gracias

Answer 1

Quiere demostrar que $h$ es continua en los irracionales. Sea $x$ sea irracional, dejemos que $y\in\mathbb{R}$ , con el fin de suponer que $x<y$ (ya que sólo se trabaja con irracionales el caso $y<x$ es similar) tenemos

$|h(x)-h(y)| = |\sum_{n=1}^\infty u_n(x)-u_n(y)|\leq \sum_{n=1}^\infty |u_n(x)-u_n(y)|$

ahora $|u_n(x)-u_n(y)|$ es cero, o $1/2^n$ (porque $u_n$ es monótona), En particular, si $x>r_n$ entonces $y>r_n$ y $|u_n(x)-u_n(y)|$ es cero.

Dejemos que $\varepsilon>0$ y elegir $N$ para que $\sum_{n=N}^\infty 1/2^n<\varepsilon$ (por qué $N$ existe?).

Dejemos que $\delta<\min\{|x-r_1|,|x-r_2|,...,|x-r_N|\}$

Ejercicio: Demostrar que $|x-y|<\delta\rightarrow |u_n(x)-u_n(y)|=0$ por cada $n\leq N$ .

Pista 1:

Pista 1: si $|x-y|<\delta$ entonces $|x-y|<|x-r_n|$ , dibujar $x,r_n,y$ en la línea real

Pista 2:

Pista 2: si $|x-y|<\delta$ entonces $|x-y|<|x-r_n|$ , si $x>r_n$ ya demostramos que $u_n(x)=u_n(y)$ , de lo contrario, suponga que $x<r_n$ También tienes que $x<y$ por lo tanto $|x-y|<|x-r_n|\Rightarrow y-x<r_n-x\Rightarrow y<r_n$

Suponiendo que el ejercicio $|x-y|<\delta$ implica que $$|h(x)-h(y)|=|\sum_{n=N}^\infty u_n(x)-u_n(y)|\leq \sum_{n=N}^\infty |u_n(x)-u_n(y)|\leq\sum_{n=N}^\infty 1/2^n<\varepsilon$$