¿Polinomio irreducible sobre el campo número de raíces en cada terminación?

Question

Sea K/Q ser un campo, probablemente no es una extensión finita. Es posible que un polinomio sea irreducible sobre K, pero tiene una raíz en cada finalización de K? ¿Qué pasa con todos, pero un número finito de terminaciones?

Esta pregunta se relaciona con la pregunta "¿Puede un no-surjective polinomio mapa de un infinito campo de sí mismo perder sólo un número finito de puntos?", y debe ayudar a demostrar que un polinomio no puede existir por cualquier subcampo de la clausura algebraica de los racionales.

La idea es que hagamos el candidato polinomio monic y han algebraica de los números enteros para los coeficientes, que tome la máxima ideal en el anillo de enteros de los candidatos campo y completar usando el ideal ya que el polinomio debe tener una raíz en el residuo de campo, tiene una raíz en la finalización. Me pregunto si esto obliga a que el polinomio que tiene una raíz en el campo original, de ahí la pregunta.

La misma pregunta sólo para la función de los campos es también muy interesante, con el fin de demostrar el por encima de los subcampos de la clausura algebraica de F_p(t)

Answer 1

Edit: veo que me perdí la nota que $K$ podría no ser finito $\mathbb{Q}$. Esta respuesta no es la correcta para $K$ de grado infinito sobre $\mathbb{Q}$, como en el FC de la respuesta anterior.

No. Esto es una consecuencia de la Chebotarev densidad teorema. A ver cómo sigue, mira ejercicio 6 al final de Cassels y Frohlich "la Teoría Algebraica de números".

Brevemente, el Chebotarev densidad teorema dice que para que un Galois de la extensión global de los campos de $L/K$, y para un conjunto finito $S$ de las plazas de $K$, la proporción de números primos de $K$ dividir en $L$$1/[L:K]$. Si $G=\text{Gal}(L/K)$ $E$ es el campo fijo de algunos $H\subset G$, es posible demostrar que la proporción de los lugares de $K$ con un factor de división en $E$$|\bigcup_{\rho\in G}\rho H\rho^{-1}|/|G|$, y un lema en grupos finitos dice que este cociente no es $1$ si $H=G$.

En su caso, tome $E=K[x]/(f)$ $L$ a ser una extensión normal de $K$ contiene $E$. A continuación, "$v$ tiene un factor de división" significa "$f$ tiene una raíz en la terminación $K_v$". Si $f$ tiene una raíz en cada finalización (o incluso un conjunto de terminaciones con densidad de $1$, que incluye el caso de "todos excepto un número finito de"), debemos tener $H=G$$E=K$. Por lo $f$ ya tenía una raíz en $K$.