Actualmente estoy tratando de encontrar la serie Laurent para $f(z) = \frac{1}{(1-z)(1-cz)}$ en el punto $z_0 = \frac{1}{c}$ . Por lo tanto, calculé las fracciones parciales y encontré que $f(z) = \frac{A}{1-z} + \frac{B}{1-cz}$ con $A = \frac{16}{25} + \frac{12}{25}i$ y $B=\frac{9}{25} - \frac{12}{25}i$ . Ahora cuando uso la suma geométrica para encontrar la serie de Laurent obtengo $f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k A + \sum_{k=0}^{\infty} (cz)^k B = \sum_{k=0}^{\infty} z^k(A+c^kB)$ . Pero eso significa que $|cz|$ debe ser menor que 1 y que $|z| < |1/c| = |z_0|$ . ¿No significa eso que no puedo usar ese enfoque o no es posible desarrollar la serie en ese punto?
Respuesta
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Has calculado la serie de Laurent de $f$ en $z_0 = 0$ que, obviamente, sólo converge para $|z| < |1/c|$ . Si se quiere calcular la serie de Laurent en $z_0$ = 1/c, se puede factorizar $f$ como $$f(z) = \frac{1}{z - \frac{1}{c}} \frac{1}{c(z-1)}.$$ El primer factor está en la forma correcta. Ahora expande el segundo factor en $z_0 = \frac{1}{c}$ y se obtiene la deseada serie Laurent.
EDIT: Debido a que parece haber alguna confusión, aquí está la serie Laurent alrededor $z_0 = 1/c$ . Tenemos para $0<|z-1/c|<|1-1/c|=5/3$ $$\frac{1}{1-z} = \frac{1}{\frac{c-1}{c} - (z - \frac{1}{c})} = \frac{c}{c-1}\frac{1}{1 - \frac{c}{c-1}(z - \frac{1}{c})} = \frac{c}{c-1}\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{c^n}{(c-1)^n}(z-\frac{1}{c})^n.$$ Así, $$f(z) = (z-\frac{1}{c})^{-1}\frac{1}{1-c}\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{c^n}{(c-1)^n}(z-\frac{1}{c})^n = \frac{1}{1-c}\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{c^n}{(c-1)^n}(z-\frac{1}{c})^{n-1}.$$ Desplazando el índice en uno, se obtiene $$f(z) = -\sum\limits_{n = -1}^{\infty} \frac{c^{n+1}}{(c-1)^{n+2}}(z-\frac{1}{c})^n.$$
