Porque eso no es una definición ¿Qué es exactamente " $(x_1,...,x_n)$ "? Podríamos tener la tentación de obviar esto, y ciertamente no ocurre nada demasiado sorprendente con finito pero esto es claramente insatisfactorio para productos arbitrarios; por ejemplo, ¿qué pasa si estoy tomando el producto de una familia de conjuntos que ni siquiera está ordenada linealmente en primer lugar?
- En general, nunca te sientas satisfecho cuando una definición que has escrito tiene todo el "trabajo duro" hecho por la palabra "análogamente" o algo similar.
Así que tenemos que definir rigurosamente lo que entendemos por tuplas ordenadas "grandes".
Intuitivamente, un elemento de $\prod_{i\in I}X_i$ debe ser un " $I$ secuencia de los "-arios", cuya $i$ El término viene de $X_i$ . La forma más sencilla de precisar esto es pensar en las secuencias como si se tratara simplemente de estar bien vestido funciones - la secuencia "Primer término $0$ segundo término $1$ tercer mandato $0$ " es sólo la función con dominio $\{1,2,3\}$ enviando $1$ a $0$ , $2$ a $1$ y $3$ a $0$ .
En abstracto, pues, estamos hablando de lo siguiente
Un elemento de $\prod_{i\in I}X_i$ es una función $p:I\rightarrow\bigcup_{i\in I} X_i$ con $p(i)\in X_i$ para cada $i\in I$ .
Ahora para hablar de funciones basta con hablar de ordenadas pares que podemos hacer, por ejemplo, con la definición de Kuratowski. Así que hemos convertido un solo "ordenado $I$ -tupla" en una set de pares ordenados.
Eso explica de dónde viene la definición. Y con esto en mente queda claro que la no vacuidad del producto de conjuntos no vacíos es equivalente al axioma de elección: ¡una función de elección para una familia de conjuntos no vacíos disjuntos es literalmente un elemento del producto de esa familia de conjuntos!
