El "verdadero efecto mariposa"

Question

Esta pregunta surge de la confusión que siento después de leer esta popular entrada del blog de Sabine Hossenfelder. Se basa en este documento que es de pago, por desgracia.

La reclamación es la siguiente:

Más bien, tal como se presenta en su documento Tellus de 1969, Lorenz pretendía que la frase describiera la existencia de una barrera de predictibilidad absoluta en tiempo finito en ciertos sistemas de fluidos multiescala, lo que implica una ruptura de la dependencia continua de las condiciones iniciales para tiempos de previsión suficientemente grandes.

La ruptura de la continuidad me sorprendió por completo, y de hecho, aquí está mi borrador de la prueba de lo contrario:

1. Consideremos el espacio vectorial lineal de funciones con soporte compacto sobre el espacio de fase, aumentado con el habitual $L_2$ norma.
2. Definir la acción del Hamiltoniano (clásico) sobre las funciones por $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$ . Obsérvese que con esta definición, el operador es autoadjunto (puede demostrarse mediante un argumento de integración por partes).
3. Por Teorema de Stone debe existir un grupo de traslaciones temporales fuertemente continuas de 1 parámetro, por lo que la ruptura de la dependencia continua de las condiciones iniciales es imposible.

Dado que mi conclusión aparentemente contradice la conclusión del resumen de Palmer et al., me gustaría saber qué es exactamente lo que falla para que se produzca una barrera de predictibilidad en tiempo finito en los sistemas que presentan el "efecto mariposa real".

Actualización: un argumento mucho más simple de un amigo mío: tomar $U(T/2)$ (operador de evolución asociado al intervalo de tiempo $T/2$ donde $T > 0$ es la supuesta barrera de previsibilidad). Por construcción es continua, ya que $T / 2 < T$ . Por lo tanto, $U(T/2)^4 = U(2T)$ también es continua. Esto nos permite ver en el futuro que está más distante que la barrera con un operador continuo, lo que está en contradicción con la suposición original. Concluimos que $T$ debe ser infinito o cero.

Answer 1

Hay algunos problemas con el puesto en el sitio web. No puedo entender cómo pasar el formulario Ecuaciones de Navier-Stokes que son PDEs A algunos ODE (¿las ecuaciones de Lorenz?) que parecen ser el objeto de la discusión (mirando también la formulación de la cuestión por el Prof. Legolasov). Lamentablemente no tengo acceso al documento.

Desde un punto de vista puramente matemático todo está claro, por lo que el problema debe referirse a la modelado físico : debe producirse algún desglose de la descripción matemática en algún nivel por razones físicas, pero sin leer el documento es difícil discutirlo.

A continuación se describe brevemente el escenario matemático relativo a la dependencia de los datos iniciales.

Cada (autónomo) Sistema ODE como la de Lorenz puede escribirse como $$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ donde $x\in M$ , $M$ siendo algunos $C^k$ colector y $F$ a $C^k$ campo vectorial en $M$ con $k\geq 1$ .

Ahora bien, es un resultado estándar de la teoría de las EDO que, si $x=x(t|x_0)$ es la solución máxima de (1) con la condición inicial $x(0)= x_0\in M$ , definida así en un intervalo abierto $I_{x_0}\ni 0$ entonces

(1) el conjunto $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ está abierto en $\mathbb{R}\times M$

(2) el mapa $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ es conjuntamente $C^k$ (y $C^{k+1}$ en la variable $t$ ).

Por lo tanto, en el dominio completo de la solución hay un $C^k$ (por lo tanto, continua) de los datos iniciales. En particular, al fijar algunos $T$ el mapa $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ donde $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$ es necesariamente continua.

En cambio, si se trata de EDP propiamente dichas, las ecuaciones de Navier-Stokes precisamente, las cosas son mucho más delicadas y, como es bien sabido. Sólo la demostración de un teorema de existencia y unicidad para unos datos iniciales dados (que ahora son funciones) es problemática. La dependencia continua de los datos iniciales es aún más problemática.

En cuanto a la sugerencia del profesor Legolasov, tengo algunos problemas con ella.

(a) ¿Nos referimos al sistema ODE de Lorenz? Eso no es hamiltoniano, ya que el colector tiene dimensión impar, así que lo que es $H$ ?

(b) ¿Estamos utilizando, en cambio, alguna estructura de Poisson no simpléctica?

(c) A continuación, incluso refiriéndose a $L^2(M)$ (¿qué medida?) sobre una variedad de Poisson $M$ , $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ es simétrica, por ejemplo, en $\mathbb{R}^{2n}$ refiriéndose a la estructura euclidiana natural y a la estructura simpléctica estándar en coordenadas cartesianas ortonormales, pero no es necesariamente esencialmente autoadjunto (esencialmente auto-unión de PDE en Riemannian es un tema delicado y se conocen resultados generales para operadores elípticos y $-i\{H, \cdot\}$ no es elíptica en general [¿qué métrica riemanniana en general cuando estamos dotados sólo de una estructura de Poisson?)

(d) Finalmente, incluso si producimos un grupo unitario fuertemente continuo generado por alguna extensión autoadjunta de $-i\{H, \cdot\}$ , no puedo ver la relación con la dependencia continua de los datos iniciales de la EDO asociada a $H$ .

Answer 2

Esto es lo que probablemente falta.

Este límite de predictibilidad requiere la existencia de un mecanismo de retroalimentación que opera durante cada paso de tiempo en la simulación. La retroalimentación amplía acumulativamente la sensibilidad a las condiciones iniciales y magnifica los efectos de los errores de redondeo y discretización en los algoritmos y, por tanto, hace que el sistema se vuelva divergente después de un cierto número de iteraciones. Este efecto no se observa si se interrumpe la vía de retroalimentación.