Este ejercicio se resuelve utilizando el teorema fundamental del cálculo?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función que satisfaga las siguientes condiciones

a) $f$ es continua

b) $f$ es positivo

c) $f$ es un par

d) $\int_{-1}^{1}f(t)dt=6$ .

Demostrar que hay $\epsilon > 0$ y una función $g:[0,\epsilon)\rightarrow [0,\infty)$ tal que

$$\int_{x}^{g(x)}f(t)dt=1.$$

Calcular $g'(x)$ .

Desde mi punto de vista las hipótesis b) y c) son sólo para eso $\int_{0}^{1}f(t)dt=3$ ... Sé todo adicionamlmente $f$ sea una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado [a, b]. Sea $F$ sea la función definida, para todo x en [a, b], por $$F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt.$$

Entonces, $F$ es uniformemente continua en $[a, b]$ , diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ y $F'(x) = f(x)\,$ para todos $x$ en $(a, b).$ .. pero no sé cómo puedo utilizar este resultado en el problema.

Answer 1

Definir $F(x_1,x_2):=\int_{x_1}^{x_2} f.$ Entonces, $D_2f(x_1,x_2)=f(x_2)$ (donde $D_2f$ es la derivada parcial con respecto a la segunda variable), y $D_1 f(x_1,x_2)=-f(x_1)$ debido al teorema fundamental del cálculo. Las hipótesis sobre $f$ garantizar que se pueda aplicar el teorema de la función implícita. Sólo hay que obtener una primera $y$ para que $\int_0^y f=1$ . Pero esto es simple, ya que $\int_0^1 f=3$ como concluyes, y entonces se deduce del teorema del valor intermedio (aplicado a $\int_0^xf$ ) que existe tal $y$ .

En cuanto a $g'(x)$ , tenga en cuenta que $\int_x^{g(x)}f=1 \implies \int_0^{g(x)} f- \int_0^x f=1 \implies f(g(x))\cdot g'(x) -f(x)=0 \implies g'(x)=\frac{f(x)}{f(g(x))}.$