¿Las colas gordas equivalen a una mayor probabilidad de valores no extremos según Nassim Taleb?

Question

Acabo de encontrar el siguiente pasaje escrito por Nassim Taleb Enlace :

La distribución de cola más gruesa tiene una sola desviación extrema muy grande, en lugar de muchas desviaciones de la norma. [...] si tomamos una distribución como la gaussiana y empezamos a engordarla, entonces el número de salidas de una desviación estándar disminuye. La probabilidad de que un evento se mantenga dentro de una desviación estándar de la media es del 68%. A medida que engordamos las colas, para imitar lo que ocurre en los mercados financieros, por ejemplo, la probabilidad de que un suceso se mantenga dentro de una desviación estándar de la media aumenta hasta alcanzar entre el 75% y el 95%.

Así que por lo que entiendo afirma que cuanto más gordas sean las colas, mayor será la probabilidad de que una observación caiga en la ventana de 1 SD de distancia de la media. He leído definiciones en otros lugares que básicamente afirman que las colas gordas implican observaciones más extremas (es decir, una mayor probabilidad de observaciones extremas). Intuitivamente, creo que esto contradice lo que dice el Sr. Taleb y, por tanto, tengo problemas para relacionar lo que dice el Sr. Taleb con la definición mencionada.

¿Podría alguien arrojar luz sobre el punto que el Sr. Taleb está tratando de hacer? Tal vez, mi confusión proviene de un concepto erróneo de lo que es una cola gorda en primer lugar. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

La declaración

"As ... the tails fatten ... the probability of an event staying within one 
standard deviation of the mean rises to between 75 and 95 per cent" 

puede ser cierta dentro de familias reducidas de distribuciones de probabilidad, pero es falsa en general. Aquí hay un contraejemplo, editado desde aquí, https://math.stackexchange.com/a/2510884/472987 donde la probabilidad dentro de una desviación estándar se mantiene constante (0,5) a medida que las colas engordan.

Dejemos que $X = \mu + \sigma Z$ , donde $Z$ tiene la distribución discreta

$Z = -0.5$ con probabilidad (wp) $.25$

$= +0.5$ , wp $.25$

$= -1.2$ , wp $.25 - \theta/2$

$= +1.2$ , wp $.25 - \theta/2$

$= -\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$ , wp $\theta/2$

$= +\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$ , wp $\theta/2$ .

La familia de distribuciones de $X$ está indexado por tres parámetros: $\mu$ , $\sigma$ y $\theta$ con rangos $(-\infty, +\infty)$ , $(0, +\infty)$ y $(0,.5)$ .

En esta familia, $E(X) = \mu$ , $Var(X) = \sigma^2$ y la curtosis de $X$ es la siguiente:

curtosis $= E(Z^4) = .5^4 * .5 + 1.2^4 * (.5 - \theta) + (0.155/\theta + 1.44)^2 * \theta$ .

Dentro de esta familia,

(i) la curtosis tiende a $\infty$ como $\theta \rightarrow 0$ .

(ii) la distribución dentro de los "hombros" (es decir, dentro del $\mu \pm \sigma$ ) es constante para todos los valores de la curtosis; son simplemente los dos puntos $\mu \pm \sigma/2$ , wp $0.25$ cada uno. Esto proporciona un contraejemplo a una interpretación de la curtosis, que afirma que una mayor curtosis implica un movimiento de la masa lejos de los hombros, simultáneamente en el rango entre los hombros y en las colas.

(iii) el "pico" de la distribución también es constante para todo valor de curtosis; de nuevo, son simplemente los dos puntos $\mu \pm \sigma/2$ , wp $0.25$ cada uno. Esto proporciona un contraejemplo a la interpretación a menudo dada, pero obviamente incorrecta, de que una curtosis más grande implica una distribución más "picada".

(iv) En esta familia, la parte central de la distribución se vuelve más plana a medida que aumenta la curtosis, ya que las probabilidades sobre $\mu \pm 1.2\sigma$ y $\mu \pm 0.5\sigma$ convergen al mismo valor, $0.25$ a medida que aumenta la curtosis. Esto proporciona un contraejemplo a la interpretación que se suele hacer de que una mayor curtosis corresponde a un "pico" y una menor curtosis corresponde a un "plano". Dentro de esta familia de distribuciones, una mayor curtosis corresponde en realidad a un pico más plano.