Digamos que tengo dos láminas localmente libres $F,G$ sobre la variedad proyectiva $X$ . Conozco los grupos de cohomología $H^i(X,F)$ y $H^i(X,G)$ . ¿Es esto suficiente para darme información sobre $H^i(X,F\otimes G)$ ? En particular, si $H^i(X,F)=0$ en qué condiciones $G$ garantía de que también $H^i(X,F\otimes G)=0$ ?
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Parsa
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Necesitas hacer algunas suposiciones positivas sobre $E$ y $F$ ya que su conclusión no es cierta en general. El único caso que conozco es el teorema de fuga de Le Poitier, que dice que si $E \otimes F \otimes \omega_X^{-1}$ es amplia en una variedad proyectiva lisa $X$ entonces $H^i(X,E \otimes F)=0$ para $i \geq rs$ donde $rk(E)=r$ y $rk(F)=s$ . Esto se cumple, por ejemplo, si $\omega_X^{-1}$ es nef, y $E$ y $F$ son ambos amplios en $X$ pero incluso en este caso se necesita $rs$ sea pequeña en relación con la dimensión de $X$ si quieres decir algo con sentido.
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Como referencia, para que el producto tensorial desaparezca, no basta con que desaparezcan los dos. Tomemos por ejemplo $X=\mathbb{P}_k^n$ , $F=\mathcal{O}(-n)$ y $G=\mathcal{O}(-1)$ entonces $H^n(X, F)=0$ , $H^n(X, G)=0$ pero $H^n(X, F\otimes G)=k$ .