¿Esfera de Riemann en conjuntos numéricos hipercomplejos?

Question

¿Funcionan las esferas de Riemann en conjuntos de números más grandes que los números complejos? Creo que sería interesante pensar en los cuaterniones como una esfera 5D o algo así, pero realmente no sé si las matemáticas de las esferas de Riemann funcionan en otras dimensiones. Gracias.

Answer 1

Sí. Estas correspondencias son realmente importantes cuando se trata de entender la topología de las esferas debido a la existencia de las correspondientes Mapas de Hopf . Al igual que $S^2$ es homeomorfo a la línea proyectiva compleja $\mathbf{CP}^1$ tenemos las correspondencias $$\begin{align}S^1&\cong\mathbf{RP}^1\\ S^2&\cong\mathbf{CP}^1\\ S^4&\cong\mathbf{HP}^1\\ S^8&\cong\mathbf{OP}^1 \end{align}$$ para los sistemas numéricos real, complejo, cuaterniónico y octoniónico, respectivamente.