Elementos especiales de las extensiones de campo

Question

Me preguntaba si hay un método para encontrar todos los elementos $w\in F(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ tal que $F(w)=F(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ , donde $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ son algebraicas sobre el campo $F$ de grados $m_1,\ldots,m_n$ y $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ son algebraicamente independientes sobre $F$ ? Esto significa que $B=\{\prod_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{k_i}, 0\leq k_i\leq m_i-1 \text{ for all } 1\leq i \leq n\}$ es una base de $F(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ .

¿Sería más fácil si $\gcd(m_1,\ldots,m_n)=1?$ O si $\operatorname{char}(F)=0$ ?

¿Podría mostrar esto en un ejemplo específico, por ejemplo $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt[3]3)?$

Gracias.

Answer 1

He aquí una respuesta un poco abstracta:

Supongamos que hemos encontrado un elemento primitivo $w$ con un polinomio mínimo $m(x) = x^n + \ldots \in F[x]$ . Cualquier elemento $y\in F(w)$ puede expresarse como un polinomio racional de $w$ de grado como máximo $n-1$ . Por lo tanto, si $F(y) = F(w)$ entonces $y = f(w)$ y $w = g(y)$ . Por lo tanto, $w = (g\circ f)(w)$ . Recordemos que tenemos un isomorfismo, $$F(w) \cong F[x]/(m(x)).$$

Entonces existe una correspondencia entre los elementos primitivos y los polinomios $h(x) \equiv x \bmod m(x)$ que se descomponen como $h = g\circ f$ . La correspondencia no es ciertamente unívoca. Sin embargo, creo que la intuición general sobre cuándo un polinomio se descompone como una composición es que es raro que ambos $g$ y $f$ para ser no lineal. Por lo tanto, más otras raíces primitivas provienen de la composición con un factor lineal.

Encontrando algunos La raíz primitiva no es demasiado difícil en la práctica. Creo que más combinaciones lineales de los $\alpha_i$ (como en tu pregunta) dará lugar a elementos primitivos siguiendo un argumento inductivo como el sugerido por Jared.

Answer 2

(Estoy asumiendo la característica cero, aunque esto se aplica también a una amplia variedad de situaciones de características positivas)

Lo estás pensando al revés: casi cada elemento $w$ de $E = F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$ tiene la propiedad de que $F(w) = E$ .

Son los elementos $w$ tal que $F(w) \neq E$ que son especiales. Pero hay una caracterización fácil:

• $F(w) \neq E$ si y sólo si $w$ está contenido en un campo intermedio $L \subsetneq E$ .

Por lo tanto, si puedes encontrar todos los subcampos máximos de $E$ entonces tienes tu descripción del conjunto de $w$ de tal manera que $F(w) = E$ : son precisamente los $w$ que no se encuentran en ninguno de esos subcampos máximos.