Suponiendo que $z$ como un número complejo, encontrar todas las soluciones de la ecuación $|i^z|=1$ .

Question

Suponiendo que $z$ como un número complejo, encontrar todas las soluciones de la ecuación $|i^z|=1$ .

Mi intento: aquí estoy confundido porque para cualquier valor entero de z ,satisface la ecuación.

Answer 1

$$i^z = i^{x+iy} = i^x i^{iy} = i^x \cdot (i^i)^y$$

¿Qué es? $i^i$ ? Es

$$i^i = e^{\operatorname{Log}(i^i)} = e^{i\operatorname{Log}i} = e^{i(\ln|i| + i\pi/2)} = e^{i^2\pi/2} = e^{-\pi/2}$$

Así que entonces $$|i^z| = |i^x \cdot (i^i)^y| = |i^x \cdot (e^{-\pi/2})^y| = |i^x \cdot e^{-\pi y/2}| = |i^x| \cdot |e^{-\pi y/2}| = 1 \cdot |e^{-\pi y/2}|$$

En este punto, queremos que todos los valores de $y$ tal que $|e^{-\pi y/2}| = 1$ . En otras palabras, queremos que todos $y$ tal que $e^{-\pi y/2} = \pm 1$ . Bueno, ya que $y$ es real, entonces $e^{-\pi y/2} \ne -1$ y la única vez que tenemos $e^{-\pi y/2} = 1$ es cuando $y=0$ .

Así, $x$ puede ser cualquier número real y $y$ debe ser cero, lo que significa que la solución de $|i^z| = 1$ es $z \in \Bbb R$ .

Answer 2

Una pista:

Utiliza la forma exponencial: $\;i=\mathrm e^{\tfrac{i\pi}2}$ Por lo tanto $$i^z=\mathrm e^{\tfrac{z\,i\,\pi}2}$$ Si $z=a+ib$ , hay resultados $$\bigl\lvert i^z\bigr\rvert=\mathrm e^{-\tfrac{b\pi}2}.$$

Answer 3

Reescritura $i=e^{\frac{i\pi}{2}}$ y $z=a+bi$ , por lo que se obtiene

$$ |i^z| =| e^{\frac{i\pi}{2}(a+bi) } |= |e^{\frac{i\pi a}{2} }e^{\frac{-b\pi}{2}}| = |e^{\frac{i\pi a}{2} }| |e^{\frac{-b\pi}{2}}| = |e^{\frac{-b\pi}{2}}| = e^{\frac{-b\pi}{2}} =1=e^0 \to b = 0$$

por lo que la solución es todo número real $a$ .