Una pregunta sobre la prueba de Tao del Principio de Incertidumbre de Hardy

Question

Leer La prueba de Tao del principio de incertidumbre de Hardy , encontré la afirmación de que

$$e^{i\epsilon e^{i\epsilon}z^{2+\epsilon}}e^{i\delta z^2}F(z) \to 0$$ como $z\to\infty$ dentro del sector $\{re^{i\alpha}:r>0, 0\leq\alpha\leq\theta\}$ , donde $\epsilon,\delta>0$ y $\theta\in(0,\pi/2)$ está cerca de $\pi/2$ .

La función $F(z)=e^{\pi z^2}\hat{f}(z)$ y $f$ es una función tal que $f$ y $\hat{f}$ están limitados por gaussianos $e^{-\pi x^2}$ en la línea real.

¿Por qué la expresión anterior converge a 0?

Answer 1

Puntos en el interior de $\Gamma_{\theta}$ son de la forma $z = re^{i\alpha}$ con $0<\alpha<\theta$ . Por lo tanto, $$ z^{2+\epsilon} = r^{2+\epsilon}e^{i(2+\epsilon)\alpha}$$ y podemos calcular $$ w := e^{i\epsilon}z^{2+\epsilon} = r^{2+\epsilon}e^{i(2\alpha+\alpha\epsilon+\epsilon)}.$$ Geométricamente, obtenemos un punto $w$ más lejos de $O$ (en $r^{2+\epsilon}$ ) y todavía en el semiplano superior, siempre que $0<2\alpha+\alpha\epsilon+\epsilon<\pi$ .

Esto implicará el límite cero como

$$e^{i\epsilon e^{i\epsilon}z^{2+\epsilon}} = e^{i\epsilon w}= e^{-\epsilon r^{2+\epsilon}\sin(2\alpha+\alpha\epsilon+\epsilon)}e^{i\epsilon\operatorname{Re}(w)}$$ tiene un módulo de fuga como $r\to+\infty$ (con $\epsilon>0$ fijo) y $e^{i\delta z^2}F(z)$ permanece acotado.

Para garantizar que $w$ se mantiene en el semiplano superior (por lo que su parte imaginaria es positiva), observamos que la expresión

$$e^{i\epsilon e^{i\epsilon}z^{2+\epsilon}}e^{i\delta z^2}F(z)$$

es continua en $z$ en el interior de $\Gamma_\theta$ . Así, podemos mantener $\alpha$ fijo y toma $r\to+\infty$ para calcular el límite como $z\to\infty$ en el interior de $\Gamma_\theta$ .

Entonces, claramente $2\alpha+\alpha\epsilon+\epsilon > 0$ y

$$2\alpha+\alpha\epsilon+\epsilon < \pi \iff \epsilon <\frac{\pi-2\alpha}{\alpha+1}$$

por lo que basta con tomar $\epsilon < \pi-2\theta$ que es positivo e independiente de $\alpha$ .