¿un límite superior de la diferencia media absoluta?

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria integrable con FCD $F$ y la FCD inversa $F^*$ . $Y$ es iid con $X$ . Prueba $$E|X-Y| \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sigma,$$ donde $\sigma=\sqrt{Var(X)} = \sqrt{E[(X-\mu)^2]}$ .

Estoy buscando alguna pista para esta prueba.

Lo que tengo es $E|X-Y|=2\int_{0}^{1}(2u-1)F^*(u)du$ . Pero no estoy seguro de que esta sea la dirección correcta.

También me he dado cuenta de que $\frac{2}{\sqrt{3}}$ puede estar relacionada con la varianza de la distribución uniforme.

Answer 1

Teorema 3.3 de la página 86 de "Cerone, Pietro, y Sever S. Dragomir. "A survey on bounds for the Gini Mean Difference". Advances in Inequalities from Probability Theory and Statistics (2008)" afirma que
$$R_G(f) \le \frac{2}{(q+1)^{1/q}}\left[M_{E,p}(f)\right]^{1/p}$$
donde $R_G(f)=\frac{1}2 E|X-Y|$ , $p>1$ , $1/p+1/q=1$ y $M_{E,p}(f)=E\left[|X-\mu|^{p}\right]$ .
La prueba es corta y utiliza la desigualdad de Holder. Ahora, la Observación 3.2 dice que hay que tomar $p=q=2$ en la desigualdad para encontrar
$$R_G(f) \le \frac{2}{\sqrt{3}}\sigma$$
La referencia dice que esta desigualdad es conocida y se refiere a
https://galton.uchicago.edu/~wichura/stat304/handouts/L09.means3.pdf
Pero no he podido acceder a ese sitio web. También dice que el límite superior se obtiene para la distribución Unif(0,1). Parece que hay una errata en la referencia porque creo que la desigualdad debería ser $R_G(f) \le \frac{1}{\sqrt{3}}\sigma$ . Hay un $\frac{1}2$ incluida en la definición de la diferencia media de Gini $R_G(f)$ .