Conversión de ∃ a ∀ y viceversa

Question

Tengo problemas para entender la conversión de los cuantificadores.

Por ejemplo, sé que $\forall x \,F \,\equiv\, \neg\exists x \, \neg F$ y a la inversa. $\exists x \,F \,\equiv\, \neg\forall x \, \neg F$

Sin embargo, ¿qué pasa si tengo $\neg\forall x\forall y \,F $ ? ¿Cuál es la equivalencia lógica para esto?

Además, ¿es $\neg\forall x\forall y \,F \equiv \neg\forall x\neg\forall y \,F$ ¿o son dos cosas diferentes?

Si son diferencias, entonces creo que $\neg\forall x\forall y \,F \equiv \exists x\neg\exists y \,\neg F$ pero no estoy seguro de cómo convertirlo en general.

Cualquier idea es muy apreciada. He tratado de buscar en Google, pero la mayoría de los resultados sólo vienen con el caso simple discutido anteriormente, que ya conozco.

Answer 1

No, $\neg\forall x\forall y\, F$ no es lo mismo que $\neg\forall x\neg \forall y\, F$ . Por ejemplo, si tomamos $F$ para significar que $x$ y $y$ son amigos, entonces $\neg\forall x\forall y\, F$ significa que "no todo el mundo es amigo de todo el mundo", mientras que $\neg \forall x\neg \forall y\, F$ significa "no hay nadie que no tenga amigos", y debería ser fácil imaginar situaciones en las que una de ellas sea cierta y la otra no.

Por otro lado $\neg \forall x\forall y\, F$ equivale a $\exists x\exists y \,\neg F$ .

Suele ser más intuitivo recordar estas reglas de la forma $$ \neg \forall x\, F \equiv \exists x\,\neg F \qquad\qquad \neg \exists x\, F \equiv \forall x\,\neg F $$ o en palabras:

Puedes mover una negación a través de un cuantificador si cambias el cuantificador al otro tipo mientras lo haces.

De esta manera, cuando se tiene una cadena completa de cuantificadores con una negación en un extremo, se puede desplazar la negación al otro cuando mientras se voltea cada del cuantificador. Así, por ejemplo,

$$ \neg \forall x \exists y \exists z \forall w \, F \equiv \exists x\forall y\forall z\exists w\,\neg F $$