Aproximación discreta de la densidad de carga

Question

Dado el potencial eléctrico $\Phi(r)$ y la ecuación de Poisson: $$ \nabla^2 \Phi(r) = - 4\pi \rho(r)$$ Consideremos el caso de 2 dimensiones y digamos que quiero discretizar esto usando una malla cuadrada donde en el centro de la malla tengo una carga puntual con carga $q$ . ¿Cuál sería la expresión (= una aproximación discreta) para $\rho(r)$ ?

Answer 1

Como se tiene una carga puntual no se puede hacer mucho más que tratarla como una función delta a la manera de $q\delta(r-r_0)$ . Así que en cualquier otro punto de la red no tiene ninguna carga.

Answer 2

I) Es cierto que la densidad de carga eléctrica $\rho(\vec{r})$ de $N$ cargas puntuales idealizadas en $d$ dimensiones viene dada precisamente por $N$ $d$ -Funciones delta dimensionales.

II) Sin embargo, aquí suponemos que OP está considerando realmente un sistema macroscópico que está bien descrito por la teoría clásica del continuo (y que los componentes (sub)atómicos/moleculares subyacentes son irrelevantes). En el contexto de la resolución de ecuaciones diferenciales numéricamente En el caso de la ecuación de Poisson, por ejemplo, lo que se suele entender por discretización es la sustitución de una región espacial (temporal) continua por una red suficientemente densa en la que la EDP pueda resolverse numéricamente. Para confiar en la discretización, el $\rho$ de los puntos de la red deben ser preferiblemente representativos de toda la densidad de carga continua $\rho(\vec{r})$ y no los picos de la función delta.