¿por qué las sumas de las columnas de la tabla de caracteres son enteras?

Question

Existe un conocido resultado de Solomon que afirma que la suma de las entradas de cualquier fila en $\mathbb{C}$ -Tabla de caracteres de un grupo $G$ es un número entero.

Se menciona en Martin Isaacs Teoría de los caracteres de los grupos finitos como nota que las sumas de las columnas también son enteras. Mi pregunta es que ¿cuál es la razón de este último hecho sobre las sumas de las columnas?

Answer 1

Dejemos que $K$ sea la extensión de campo de Galois de $\mathbb{Q}$ generado por las entradas de la tabla de caracteres. Entonces la acción de $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ sobre los valores de los caracteres permuta las filas de la tabla de caracteres. Así, $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ fija la suma de cada columna, que por tanto es racional. Pero las sumas de las columnas son sumas de valores de caracteres, y por tanto enteros algebraicos, y un entero algebraico racional es simplemente un entero.