Descomposición de la unión contable de conjuntos medibles

Question

¿Por qué cada conjunto puede $E$ en los números reales con $\mu^{*}(E)=\infty$ ¿se puede realizar como la unión disjunta de un número contable de conjuntos medibles, cada uno de los cuales tiene una medida exterior finita? Estoy tratando de ver esto sin las propiedades de aproximación por conjuntos abiertos y cerrados.

Editar: Tal vez uno puede cubrir por countably muchos intervalos, intersección de cada uno con $E$ y luego definir inductivamente el $k$ El conjunto de la serie restando la unión de los conjuntos anteriores $k-1$ ?

Answer 1

Puedes escribir $E$ como una unión disjunta de conjuntos contables con medida exterior finita, porque se puede dividir todo el espacio como tal unión. Es decir, para cada $n\in \Bbb Z$ , dejemos que $I_n = [n,n+1)$ . Entonces $$\Bbb R = \bigcup_{n\in \Bbb Z} I_n.$$

Ahora bien, dada tal $E$ , defina $E_n=E\cap I_n$ . Entonces $E$ es la unión disjunta de los $E_n$ y cada $E_n$ tiene una medida exterior finita porque $E_n\subseteq I_n$ .

Bit en general no podemos asegurar la mensurabilidad de los subconjuntos involucrados en la descomposición. Véase la respuesta de Ats.

Answer 2

No creí que esta afirmación fuera cierta. Pero agradecería que alguien me corrigiera si estoy equivocado. Véase una propuesta de contraejemplo a continuación:

Definir $E$ la unión de los dos conjuntos siguientes:

1) a Conjunto Vitali en $[0,1)$

2) $[1,\infty)$

El conjunto de (1) no es medible, por lo que impide esta parte de $E$ como expresado por una unión contable de conjuntos medibles.

El conjunto de (2) garantiza que $E$ tiene una medida exterior infinita.