Demostración de la existencia de campos finitos mediante el recuento del número de irreductibles

Question

Quiero demostrar que dado un primo $p$ y un número entero positivo $n$ existe un campo finito de orden $p^n$ . Quiero hacerlo demostrando que existe un polinomio irreducible de grado $n$ en $\mathbf F_p$ .

Conozco el siguiente hecho: Que $a_k$ sea el número de grados $k$ monic irredcuibles sobre $\mathbf F_p$ . Entonces $$p^n=\sum_{d|n} da_d\tag{1}$$ Usando esto y la inversión de Mobius, obtenemos una fórmula para encontrar el número de irreducibles mónicos de grado $n$ en $\mathbf F_p$ .

Lamentablemente, no puedo demostrar (1) sin asumir la existencia de $\mathbf F_{p^n}$ por adelantado.

Answer 1

Lo que realmente queremos demostrar es que el polinomio $x^{p^n} - x$ factores como el producto de cada polinomio irreducible de grado que divide $d$ exactamente una vez cada uno. Su resultado deseado sigue tomando grados.

Esto se deduce a su vez de la observación de que si $f(x)$ es un polinomio irreducible de grado $d$ entonces $\mathbb{F}_p[x]/f(x)$ es un campo finito de orden $p^d$ (nótese que no estoy asumiendo que estos campos existan para todos los $d$ ). En cualquier campo de este tipo tenemos $y^{p^n} = y$ para todos $y$ en el campo, por lo que en particular $x^{p^n} \equiv x \bmod f(x)$ Así que $f(x)$ divide $x^{p^n} - x$ .

Por el contrario, si $f(x)$ divide $x^{p^n} - x$ entonces $\mathbb{F}_p[x]/f(x)$ es un campo finito de orden $p^d$ Así que $f(x)$ divide $x^{p^d} - x$ . Tenemos

$$\gcd(x^{p^a} - x, x^{p^b} - x) = x^{p^{\gcd(a, b)}} - x$$

y tomando $a = n, b = d$ da $\gcd(a, b) = d$ Así que $d \mid n$ .

Por último, calculando la derivada de $x^{p^n} - x$ podemos ver que es libre de cuadrados, por lo que cada factor irreducible ocurre con multiplicidad $1$ .