Normalización de una distribución continua

Question

Trabajo en un centro de ayuda/tutoría en mi universidad. Hoy ha venido un chico con este problema. Sólo he estudiado matemáticas y no he derivado a la física, pero él tenía este problema:

Dejemos que $P(x)=Ne^{-\frac{|x|}{a}}$ . Entonces:

(a) Encuentre $N$ tal que $P(x)$ está correctamente normalizado.

(b) Encuentre $\langle x \rangle$ y $\langle x^2 \rangle $

Intento de solución:

$1=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}Ne^{-\frac{|x|}{a}}=2\int_{0}^{\infty}Ne^{-\frac{x}{a}}=2\int_{0}^{\infty}Ne^{-u}a\,du=2Na\int_{0}^\infty e^{-u}du=2Na.$

Así que $N=\frac{1}{2a}$

No estoy seguro de cómo hacer la parte (b). El texto, Mecánica Cuántica de Robinett, me supera un poco. Podrían orientarme sobre cómo resolver este problema... parece muy interesante.

Answer 1

Para la parte a) debes comprobar que la simetría de $P(x)$ con respecto a $x$ da

$$\int_{-\infty}^{\infty}Ne^{-|x|/a} dx=2\int_{0}^{\infty}Ne^{-x/a}dx$$

y luego hacer un cambio de variable $\displaystyle u=\frac{x}{a}$

Para la parte b), observe que por definición $\displaystyle\langle f(x) \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)Ne^{-|x|/a}dx$ y que ambos $x$ , $x^2$ y $P(x)$ han definido la simetría con respecto a $x$ y se puede aprovechar esa simetría para conocer el valor de algunos de ellos (en particular $\langle x \rangle$ sin calcular realmente las integrales