Estructuras aparentemente emergentes en matemáticas

Question

Sospecho que esto ya debe haber surgido aquí en MO, pero mi puñado de búsquedas no ha dado con el hilo, así que...

Tengo curiosidad por conocer ejemplos de estructuras matemáticas que parecen surgir "de la nada". El ejemplo que motiva esto es uno que estaba enseñando hoy, a saber, el teorema central del límite.

Intentaba transmitir a mis alumnos (de matemáticas empresariales) lo asombroso que es que las distribuciones muestrales de la media de una variable aleatoria uniformemente distribuida se acerquen a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

De la completa aleatoriedad surge una estructura muy específica y bastante sutil (si es en el límite).

Me divertiría ver otros ejemplos de este fenómeno percibido en diferentes áreas de las matemáticas. No sólo la estructura donde no se esperaba (que es bastante genial, pero omnipresente), sino la estructura que parece "surgir del vacío".

Answer 1

Un buen ejemplo de estructura aparentemente trivial que esconde una estructura altamente no trivial es la de un espacio proyectivo. Un espacio así está formado por "puntos", "líneas" y "planos" con las propiedades obvias: hay una única línea que pasa por dos puntos cualesquiera, dos planos se encuentran en una única línea, tres puntos que no están en una línea se encuentran en un único plano, y así sucesivamente.

Sorprendentemente, cualquier espacio de este tipo tiene un campo de inclinación que coordina el espacio para que las líneas y los planos tengan ecuaciones lineales. Esto se debe a que que el teorema de Desargues se cumple en cualquier espacio proyectivo. Hilbert (1899) demostró (de forma muy indirecta) que se puede entonces definir la suma y el producto de puntos, y utilizar el teorema de Desargues para demostrar sus propiedades de campo sesgado.

Answer 2

No estoy exactamente seguro de lo que buscas, pero se podría pensar en Teoría de Ramsey como diciendo que cualquier estructura lo suficientemente grande contendrá necesariamente una subestructura ordenada. O, incluso de forma más imprecisa, que el orden es inevitable en un caos lo suficientemente grande. Así que supongo que los siguientes serían ejemplos de respuestas a la pregunta:

• Teorema de Ramsey;
• El teorema de van der Waerden;
• el teorema de Hales-Jewett;
• Teorema de Szemeredi;
• el teorema de Green-Tao.

Y hay muchos más en esta línea. Especialmente las versiones infinitas de tales teoremas parecen encajar muy bien con tu ejemplo del teorema del límite central.

Answer 3

La clasificación ADE .

Answer 4

La conjetura de geometrización de Thurston podría ser un buen ejemplo. Si empiezas con unos cuantos tramos simples, puedes combinarlos para crear cualquier tríptico que quieras.

Answer 5

El teorema del amigo universal:

Supongamos que en un grafo finito, cada par de vértices tiene exactamente un vecino en común. Entonces el grafo debe ser un molino de viento, es decir, hay un vértice central que es vecino de todos los demás vértices, y el resto de vértices están conectados entre sí por pares.

También se expresa a veces como "en una fiesta, cada dos personas tienen un único amigo en común. Entonces hay una persona en la fiesta que es amiga de todos".