EDIT: Hendrik Lenstra me ha enviado por correo electrónico una prueba de la conjetura 2. La adjunto a continuación. Así que la pregunta de Jagy ya está resuelta.
Bien, creo que Jagy quiere hacer la siguiente conjetura:
CONJUNTO 1: un número entero $C$ no es representable por la forma F(x,y,z)=2x^2+xy+3y^2+z^3-z si, y sólo si, $C$ es impar y $27C^2-4=23D^2$ con $D$ un número entero.
[EDIT/aclaración: Jagy sólo pide una dirección del iff en su pregunta, y esta respuesta de abajo da una respuesta completa a la pregunta de Jagy. Sin embargo, volví a esta pregunta recientemente [estoy escribiendo este párrafo un año después de escribir la respuesta original] y traté de completar los detalles del argumento en la otra dirección (demostrando que si C no era una solución entera impar a $27C^2-4=23D^2$ entonces $C$ representado por el formulario) y he fallado. Así que el "agujero" que señalo en la respuesta de abajo sigue siendo realmente un agujero, y este post sigue siendo una respuesta a la pregunta de Jagy, pero no una prueba completa de la conjetura 1, que debe seguir considerándose abierta].
Tengo una estrategia de prueba para esto. Soy demasiado perezoso para completar algunos de los detalles, así que tal vez un poco de ella no funciona, pero debería estar bien. Sin embargo, también me baso en una conjetura mucho más fácil (que he probado numéricamente, así que debería estar bien, pero no veo por qué es cierta):
CONJUNTO 2: si $C$ es impar y $27C^2-4=23D^2$ , entonces no hay ningún primo p que divida a D de la forma $2x^2+xy+3y^2$ .
Así que estoy afirmando que el Conj 2 implica la versión "sólo si" del Conj 1. No sé cómo demostrar la Conj 2 pero parece muy accesible [editar: ahora sí; ver más abajo]. Nótese que la ecuación de Pell está relacionada con las unidades en $\mathbf{Q}(\sqrt{69})$ y el $2x^2+xy+3y^2$ está relacionado con la factorización en $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ . He visto otros resultados que relacionan la aritmética de $\mathbf{Q}(\sqrt{D})$ y $\mathbf{Q}(\sqrt{-3D})$ .
Bien, asumiendo la conjetura 2, permítanme esbozar una prueba de la parte "sólo si" de la conjetura 1.
La ecuación de Pell está íntimamente relacionada con la relación de recurrencia
$$t_{n+2}=25t_{n+1}-t_n$$
con varias condiciones iniciales. Por ejemplo, el positivo $C$ s que son soluciones a $27C^2-4=23D^2$ son generados por esta recurrencia comenzando en $C_1=C_2=1$ y el $D$ s son generados por el mismo recurrencia con $D_1=-1$ y $D_2=1$ . Tenga en cuenta que $C_n$ es par si $n$ es un múltiplo de 3, y (resolviendo la recurrencia explícitamente) se comprueba fácilmente que $C_{3n}=(3C_{n+1})^3-(3C_{n+1})$ Así que hemos representado las soluciones pares de la ecuación de Pell como valores de $F$ (con $x=y=0$ ).
Consideremos entonces las soluciones impar de la ecuación de Pell. Digamos que $C$ es una de ellas. Queremos demostrar que no hay solución en enteros $x,y,z$ a
$$2x^2+xy+3y^2=z^3-z+C.$$
Hagámoslo por contradicción. Consideremos el polinomio $Z^3-Z+C$ . Primero Afirmo que es irreducible. Esto es porque es mónico, de grado 3, y no tiene una raíz entera, porque $C$ es impar. A continuación afirmo que el campo de división contiene $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ . Esto es debido a nuestra suposición de Pell y al hecho de que el discriminante de $Z^3-Z+C$ es $4-27C^2$ . A continuación afirmo que el campo de división campo de $Z^3-Z+C$ es de hecho el campo de clase Hilbert de $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ . Sólo conozco una forma fea de ver esto: si $\theta$ es una raíz de $Z^3-Z+1=0$ entonces conozco las relaciones de recurrencia $e_n$ , $f_n$ y $g_n$ (todos definidos usando la relación anterior pero con diferentes condiciones iniciales) con $e_n\theta^2+f_n\theta+g_n$ una raíz de $Z^3-Z+C_{3n+1}$ y otras relaciones que dan raíces de $Z^3-Z+C_{3n+2}$ y $Z^3-Z-C_{3n+1}$ y $Z^3-Z-C_{3n+2}$ . Muy poco iluminador, pero hace el trabajo porque incrusta $\mathbf{Q}(\theta)$ en el campo de división y el cierre de Galois de $\mathbf{Q}(\theta)$ es el campo de clase Hilbert de clase Hilbert de $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ .
Bien, ahora la contradicción, asumiendo la conjetura 2. Vamos a suponer que $C$ es una solución al Pell, y $z^3-z+C$ se puede escribir $2x^2+xy+3y^2$ . Ahora $C$ es impar así que $z^3-z+C$ no es cero, y por lo tanto es positivo, así que es la norma de un ideal no principal~ $I$ en los enteros $R$ de $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ . Este ideal $I$ es un producto de ideales primos, y $I$ no es principal, por lo que es mejor que uno de los ideales principales tampoco sea principal. Digamos que este ideal primo tiene norma $p$ . Concluimos que $p$ divide $z^3-z+C$ y $p$ es de la forma $2x^2+xy+3y^2$ . Obsérvese, en particular, que en particular que esto implica $p\not=23$ . También $p\not=3$ porque $C$ es impar y (por cosas generales de Pell) por lo tanto primo a 3.
CASO 1: $p$ es coprima de $D^2$ (con $27C^2-4=23D^2$ ). En este caso el polinomio $Z^3-Z+C$ tiene un discriminante no nulo mod $p$ (porque $p\not=23$ ) y además tiene una raíz $Z=z$ mod $p$ . Por lo tanto, el mod $p$ el polinomio se divide como el producto de un lineal y un cuadrático, o el producto de tres lineales. Esto nos dice algo sobre la factorización de $p$ en el campo de la división de $Z^3-Z+C$ : o $p$ permanece inerte en $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ , o se divide en 6 primos en el campo de división y, por tanto, se divide en dos primos principales en $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ (porque los principales son los que se dividen completamente en la Hilbert campo de la clase Hilbert). En cualquier caso $p$ no puede ser de la forma $2x^2+xy+3y^2$ , así que este caso está hecho.
CASO 2: Se trata simplemente de la conjetura 2.
En ambos casos tenemos nuestra contradicción, y así que hemos demostrado, hasta ahora, suponiendo la conjetura 2, que una solución $C$ a $27C^2-4=23D^2$ es representable como $2x^2+xy+3y^2+z^3-z$ si es que está parejo.
Obsérvese que la conjetura 2 puede verificarse por ordenador para valores explícitos de $C$ dando resultados incondicionales por ejemplo, he comprobado en sólo unos segundos que cualquier impar $C$ con $|C|<10^{72}$ y satisfaciendo la ecuación de Pell no era representable por la forma, y ese resultado no depende de nada. Al menos eso es algo concreto para Jagy.
Bien, ¿y qué hay de la otra manera: digamos $27C^2-4$ no es 23 veces un cuadrado. Cómo se hace la representación $C$ por nuestra forma? Bueno, aquí voy a ser mucho más vago porque hay cuestiones que simplemente estoy demasiado cansado para tratar con (y tenga en cuenta que esta no es la pregunta que Jagy hizo de todos modos). La idea es la siguiente. Mira la prueba del Teorema 2 en el pdf Mordell.pdf de Jagy. Aquí Mordell da un algoritmo general para representar ciertos enteros por (cuadrática en dos variables) + (cúbica en una variable). Si se aplicarlo no a la forma que nos interesa, sino a la siguiente ecuación:
$$x^2+xy+6y^2=z^3-z+C$$
entonces, no comprobé todos los detalles, pero me convencí de que podría comprobarlos fácilmente si tuviera una o dos horas más, pero creo que las técnicas muestran que cualquiera que sea el valor de $C$ es, esta ecuación tiene una solución. La idea es fijar $C$ , dejemos que $\theta$ sea una raíz de la cúbica de la derecha (que podemos suponer irreducible, ya que si fuera fuera reducible entonces obtendríamos una solución con $x=y=0$ ), para reescribir el lado derecho lado derecho como $N_{F/\mathbf{Q}}(z-\theta)$ con $F=\mathbf{Q}(\theta)$ y ahora a intentar escribir $z-\theta$ como $G^2+GH+2H^2$ con $G,H\in\mathbf{Z}[\theta]$ . Mordell lo hace explícitamente (en un caso ligeramente caso diferente) en el pdf. Sin embargo, los argumentos son los mismos, y acabamos teniendo que comprobar que una determinada cúbica en cuatro variables tiene una solución modulo~23 con una determinada propiedad. Me saltaré los dolorosos detalles. La cúbica depende de $C$ mod 23, por lo que un cálculo informático puede tratar los 23 casos.
Una vez hecho esto correctamente tenemos una solución para $x^2+xy+6y^2=z^3-z+C$ , por lo que hemos escrito $z^3-z+C$ como la norma de un ideal principal en los enteros de $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ . Lo que tenemos que hacer ahora es escribirla como la norma de un ideal no principal, y por supuesto podremos podremos hacerlo si podemos encontrar algún primo $p$ dividiendo $z^3-z+C$ que se divide en $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ en dos no principales primos, porque entonces sustituimos uno de los divisores primos por encima de $p$ en nuestro ideal por el otro. Lo que necesitamos entonces es demostrar que si el discriminante de $z^3-z+C$ no es $-23$ por un cuadrado, entonces hay es algunos primos $p$ de la forma $2x^2+xy+3y^2$ dividiendo algún número de la forma $z^3-z+C$ que es la norma de un ideal principal ideal. Esto se deduce del teorema de la densidad de Cebotarev, porque Los métodos de Mordell construyen un gran número de soluciones para $x^2+xy+6y^2=z^3-z+C$ que son "sólo restringidos módulo 23", y por lo tanto uno debe presumiblemente ser capaz de encontrar un primo que se divide en $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ , se divide completamente en el campo de división de $z^3-z+C$ y no dividir completamente en el campo de división de $z^3-z+1$ . Me he quedado sin de energía para tratar este punto sin embargo, así que de nuevo hay un agujero aquí. Esta cuestión me parece analítica, y yo no soy un tipo muy analítico. [editar: Volví a esta cuestión un año después y no pude hacerlo, así que esto no debe ser considerado como una prueba de la parte "si" de Conj 1]
EDIT: Bien, aquí está, textualmente, un correo electrónico de Lenstra en el que establece Conjetura 2.
(EDIT: signos de dólar añadidos - GM)
Es un hecho. Dejemos que $\theta$ sea un cero de $X^3-X+1$ , dejemos que $\eta$ en ${\bf Z}[\theta]$ sea un cero de $X^3-X+C$ con $C$ en $\bf Z$ impar, y que $p$ sea un número primo que es inerte en ${\bf Z}[\theta]$ . Entonces $p$ no divide índice $({\bf Z}[\theta]:{\bf Z}[\eta])$ .
Prueba. Por hipótesis, ${\bf Z}[\theta]/p{\bf Z}[\theta]$ es un campo de tamaño $p^3$ . Sea $e$ sea la imagen de $\eta$ en ese campo. Desde $X^3-X+C$ es irreducible en ${\bf Z}[X]$ (incluso mod 2), es la característica polinomio característico de $\eta$ en $\bf Z$ . De ahí que su reducción mod $p$ es el polinomio característico de $e$ en ${\bf Z}/p{\bf Z}$ . Si ahora $e$ está en ${\bf Z}/p{\bf Z}$ , entonces ese polinomio característico también es igual a $(X-e)^3$ , para que en ${\bf Z}/p{\bf Z}$ tenemos $3e = 0$ y $3e^2 = -1$ una contradicción. Por lo tanto, $e$ no está en ${\bf Z}/p{\bf Z}$ Así que $({\bf Z}/p{\bf Z})[e] = {\bf Z}[\theta]/p{\bf Z}[\theta]$ , que es lo mismo que decir ${\bf Z}[\theta] = {\bf Z}[\eta] + p{\bf Z}[\theta]$ . Entonces $p$ actúa de forma supletoria sobre el grupo abeliano finito ${\bf Z}[\theta]/{\bf Z}[\eta]$ , por lo que el orden de ese grupo no es divisible por $p$ . Fin de la prueba.
