¿Cuál es la condición para que la suma de $n$ números complejos eaquals su producto

Question

Dejemos que $n\geq2$ y que $\{z_1,\dots,z_n\}$ sea un conjunto de números complejos.

¿Existe una condición en el $z_i$ de tal manera que $$\sum_{i=1}^n z_i=\prod_{i=1}^n z_i$$ es idéntico a la verdad?

Para $n=2$ la condición de que $$a+b=ab$$ sólo se convierte en $b=\frac{a}{a-1}$ , para $a-1\neq0$ Pero, ¿existe un enfoque inductivo para resolver el problema general?

Mi razón para investigar esto es aprender sobre la clase de operadores lineales $A$ con la propiedad de que $\det(A)=\mathrm{tr}(A)$ en cuyo caso la condición anterior es la condición de los valores propios.

Gracias de antemano :)

Answer 1

Definir

$$r=\sum_{j=1}^{n-1} z_j, \quad s=\prod_{j=1}^{n-1} z_j$$

(Obsérvese el $n-1$ como límites superiores en lugar de $n$ .) Entonces su ecuación es equivalente a

$$r+z_n=sz_n$$

que se resuelve con

$$z_n=\begin{cases} \frac r{s-1} & \text{if $s\ne 1$} \\[2ex] \text{anything} & \text{if $s=1, r=0$} \end{cases}$$

(No hay solución si $s=1,r\ne 0$ .) Por lo tanto, su condición deseada es justo en cualquiera de los $z_k$ 's, excepto en un caso especial en el que su ecuación no se puede satisfacer.