Considere un $n$ -Juego continuo de jugadores $G=(P,S,U)$ donde:
- $P=\{1,2,\dots,n\}$ es el conjunto de $n$ jugadores.
- $S=\{S_1,S_2,\dots,S_n\}$ donde $S_i=\mathbb{R}^n_+$ es el $i$ - conjunto de estrategias puras del jugador, y $\mathbb{R}^n_+$ es el conjunto de los no negativos $n$ -tuplas.
- $U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$ donde $u_i:S\rightarrow\mathbb{R}$ es la función de utilidad del jugador $i$ .
Dejemos que $\sigma_i\in S_i=\mathbb{R}^n_+$ denotan una única estrategia para el jugador $i$ , $\sigma=\{\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma _n\}\in S$ denotan un perfil de estrategia, y $\sigma_{-i}$ denotan un perfil de estrategia de todos los jugadores excepto el jugador $i$ .
Un perfil estratégico $\sigma^*=\{\sigma_1^*,\sigma_2^*,\dots,\sigma_n^*\}\in S$ se dice que es un equilibrio de Nash si la estrategia $\sigma_i^*$ es un máximo local para la función de utilidad $u_i(\sigma_i; \sigma_{-i}^*)$ para todos los jugadores $i$ .
Pregunta:
¿Existe alguna propiedad para las funciones de utilidad $u_i$ que pueda garantizar la existencia de al menos un equilibrio de Nash? por ejemplo, la concavidad o la cuasi-concavidad.
Sé que si todas las funciones de utilidad son continuas y los conjuntos $S_i$ son compactas, entonces, la existencia de un equilibrio de Nash está garantizada, pero $\mathbb{R}^n_+$ no está acotado.
