Prueba $\{12a+25b:a,b\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$

Question

Prueba $\{12a+25b:a,b\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$ .

Mi enfoque Prueba: Dado que, los únicos factores primos de $12$ son $2$ y $3$ y los únicos factores primos de $25$ son $5$ El $\gcd(12,25)=1$ . Así, por el lema de Bezout, 1=12x+25y para algún $x,y\in\mathbb{Z}$ . Ahora, para todos $c\in\mathbb{Z}$ , \begin{align*} c(12x+25y)&=1(c)\\ 12(xc)+25(yc)&=c\\ \end{align*} Así, por cierre del conjunto de enteros bajo adición y multiplicación de enteros, $xc,yc\in\mathbb{Z}$ . Así, $12(xc)+25(yc)=12a+25b=c$ para algunos $a,b\in\mathbb{Z}$ a saber, $a=cx$ y $b=cy$ . Por lo tanto, $12a+25b=\mathbb{Z}$ , ya que $c$ es un número entero cualquiera.

Esto estaba mal, pero ¿puede ayudarme a mostrar por qué?

La razón por la que es incorrecto es porque esto sólo muestra su un subconjunto de los enteros no es igual a ellos. No lo veo del todo pero agradecería una prueba completa.

Answer 1

En general su prueba es correcta, pero hay algunos errores menores. Cuando quieres demostrar que dos conjuntos $A$ y $B$ son los mismos hay que demostrar que $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$ .

Dejemos que $X=\{12 a + 25 b : a, b \in \mathbb{Z}\}$ . Por lo tanto, si $x\in X$ , $x=12a+25b$ para algunos $a, b\in \mathbb{Z}$ entonces "por cierre del conjunto de enteros bajo adición y multiplicación de enteros" se tiene $x\in \mathbb{Z}$ Por lo tanto $X\subseteq \mathbb{Z}$ . Por otro lado, supongamos que $c\in \mathbb{Z}$ queremos demostrar que $\mathbb{Z}\subseteq X$ . Para ello tenemos que demostrar que $c\in X$ . Desde $12(-2)+25(1)=1$ multiplicando por $c$ la última igualdad nos da $c(12(-2)+25(1))=c$ entonces $12(-2c)+25(c)=c$ . Así que si ponemos $a=-2c$ y $b=c$ obtenemos $12a+25b=c$ y por lo tanto $c\in X$ . Esto demuestra $\mathbb{Z}\subseteq X$ . Por lo tanto, $X=\{12 a + 25 b : a, b \in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$ .

Answer 2

El núcleo de tu prueba está bien, excepto por algunas trivialidades para atar todo el asunto. Dado $c \in \mathbb Z$ , demuestras que hay $a, b \in \mathbb Z$ tal que $12 a + 25 b = c$ . Por lo tanto, $c \in \{ 12 a + 25 b : a, b \in \mathbb Z \}$ Así que $\mathbb Z \subseteq \{ 12 a + 25 b : a, b \in \mathbb Z\}$ . La inclusión inversa se cumple trivialmente, por lo que ambos conjuntos son iguales.