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Mostrando que n odd1nsinhπn=ln28

%#% #% No he encontrado una manera de sumar esta serie analíticamente. Mathematica da el valor numérico8ε0V0πn odd1nsinh(nπ)=ε0V0πln2., que coincide precisamente con 0.0866434

¿Puede alguien hacer esta serie por favor? es el libro sobre electrodinámica por Griffiths. Su solución 3.48 manual.

6voto

Dennis Puntos 9534

Lema. Para x>0, tenemos n odd1nsinhnx=12lnϑ4(0|ex)ϑ3(0|ex). Prueba. Vamos a escribir 1sinhnx=2enxk=0e2knx=2k=0e(2k+1)nx. Sustituyendo esto en el lado izquierdo de (1) y el uso de ese n oddqnn=12ln1q1+q, obtenemos n odd1nsinhnx=lnk=01e(2k+1)x1+e(2k+1)x=12lnϑ4(0|ex)ϑ3(0|ex), donde en el último paso hemos utilizado el producto de las representaciones de la Jacobi theta funciones (ver, por ejemplo, (92), (93) aquí).

La fórmula n odd1nsinhπn=ln28 luego sigue inmediatamente a partir de los valores especiales ϑ3(0|eπ)=π14Γ(34),ϑ4(0|eπ)=π14214Γ(34).

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