Mostrando que $\sum\limits_{n \text{ odd}}\frac{1}{n\sinh\pi n}=\frac{\ln 2}{8}$

Question

%#% $ #% No he encontrado una manera de sumar esta serie analíticamente. Mathematica da el valor numérico $$-\frac{8\varepsilon_0V_0}{\pi}\sum_{n \text{ odd}}\frac{1}{n\sinh(n\pi)}=\boxed{\displaystyle-\frac{\varepsilon_0V_0}{\pi}\ln 2.}$, que coincide precisamente con $0.0866434$

¿Puede alguien hacer esta serie por favor? es el libro sobre electrodinámica por Griffiths. Su solución 3.48 manual.

Answer 1

Lema. Para $x>0$, tenemos $$\sum_{n\text{ odd}}\frac{1}{n\sinh nx}=-\frac12\,\ln\frac{\vartheta_4\left(0|e^{-x}\right)}{\vartheta_3\left(0|e^{-x}\right)}.\tag{1}$$ Prueba. Vamos a escribir $$\frac{1}{\sinh nx}=\frac{2}{e^{nx}}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-2knx}= 2\sum_{k=0}^{\infty}e^{-(2k+1)nx}.$$ Sustituyendo esto en el lado izquierdo de (1) y el uso de ese $\displaystyle\sum_{n\text{ odd}}\frac{q^n}{n}=-\frac12\ln\frac{1-q}{1+q}$, obtenemos $$\sum_{n\text{ odd}}\frac{1}{n\sinh nx}=-\ln\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1-e^{-(2k+1)x}}{1+e^{-(2k+1)x}}=-\frac12\,\ln\frac{\vartheta_4\left(0|e^{-x}\right)}{\vartheta_3\left(0|e^{-x}\right)},$$ donde en el último paso hemos utilizado el producto de las representaciones de la Jacobi theta funciones (ver, por ejemplo, (92), (93) aquí). $\blacksquare$

La fórmula $$\sum_{n\text{ odd}}\frac{1}{n\sinh \pi n}=\frac{\ln2}{8}$$ luego sigue inmediatamente a partir de los valores especiales \begin{align*} \vartheta_3\left(0|e^{-\pi}\right)=\frac{\pi^{\frac14}}{\Gamma\left(\frac34\right)},\qquad \vartheta_4\left(0|e^{-\pi}\right)=\frac{\pi^{\frac14}}{2^{\frac14}\Gamma\left(\frac34\right)}. \end{align*}