¿Cuál es la definición correcta del grupo de Picard de un anillo conmutativo?

Question

Se trata de una pregunta más bien técnica y sin importancia en ningún caso de interés real para mí, pero he estado escribiendo algunos apuntes sobre álgebra conmutativa y dando vueltas a este punto desde hace tiempo, así que podría preguntar aquí y aclararlo.

Me gustaría definir el grupo de Picard de un anillo conmutativo arbitrario (es decir, no necesariamente noeteriano) $R$ . He aquí dos posibles definiciones:

(1) Es el grupo de clases de isomorfismo de rango uno proyectivo $R$ -bajo el producto tensorial producto tensorial.

(2) Es el grupo de clases de isomorfismo de los invertibles $R$ -bajo el producto tensorial, donde invertible significa cualquiera de las siguientes cosas equivalentes [Eisenbud, Thm. 11.6]:

a) El mapa canónico $T: M \otimes_R \operatorname{Hom}_R(M,R) \rightarrow R$ es un isomorfismo.
b) $M$ es localmente libre de rango $1$ [ editar en el sentido más débil: $\forall \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R), \ M_{\mathfrak{p}} \cong R_{\mathfrak{p}}$ .]
c) $M$ es isomorfo como módulo a un ideal fraccionario invertible.

¿Cuál es la diferencia entre (1) y (2)? En general, (1) es más fuerte que (2), porque los módulos proyectivos son localmente libres, mientras que un módulo localmente libre finitamente generado es proyectivo si es finitamente presentado. (Cuando $R$ es noetheriano, finitamente generado y finitamente presentado son equivalentes, por lo que no hay problema en este caso. Esto hace que toda la discusión sea un tanto académica).

Así que, a priori si sobre un anillo noetheriano se utilizara (1), se obtendría un grupo de Picard "demasiado pequeño". ¿Alguien conoce un ejemplo real en el que los grupos así formados no sean isomorfos? (Eso es más fuerte que el hecho de que uno sea un subgrupo propio del otro, lo sé).

¿Por qué se prefiere la definición (2) a la (1)?

Answer 1

Aunque esta pregunta ya ha sido respondida, me gustaría señalar que la afirmación también se desprende de un poco de teoría de categorías (que no parece ser discutida en la referencia de Bourbaki).

Reclamación: Dejemos que $R$ sea cualquier anillo conmutativo, y sea $M$ ser un $R$ -que es invertible para el producto tensorial. Entonces $M$ es de generación finita y proyectiva.

Prueba: El functor de $R$ -módulos a $R$ -dados por el tensado con $M$ es una auto-equivalencia. Dado que ser proyectivo es una propiedad propiedad completamente interna a la estructura categórica, es preservada por las auto-equivalencias. En particular, dado que $R$ es proyectiva, también lo es $R \otimes_R M \simeq M$ .

Del mismo modo, se ve que $M$ es de presentación finita, porque el $R$ -son exactamente los objetos compactos de la categoría.

(Más generalmente: Dada cualquier categoría monoidal simétrica, si el objeto unidad satisface alguna propiedad categórica, entonces también lo hace cualquier objeto invertible. Esto es útil en otros contextos. Ejemplo: cualquier objeto invertible en la categoría de homotopía estable tiene que ser un espectro finito, porque los espectros finitos son los objetos compactos; de aquí no es muy difícil concluir que los objetos invertibles en los espectros son las esferas).

Answer 2

Por si sirve de algo, creo que en el Algèbre Commutative de Bourbaki, esto es el capítulo II, sección 5.4 (más o menos), pero no tengo una copia delante de mí. (Pete confirma que es II.5.4, Teorema 3.)

Answer 3

1) Sobre la segunda definición:
$\alpha$ ) No es cierto que para un anillo arbitrario a) sea equivalente a c):
En efecto, Bourbaki en Álgebra conmutativa, capítulo II, ejercicios §5, 12) c) exhibe un anillo $B$ y un módulo proyectivo de rango $1$ en $B$ que no es isomorfo a un ideal fraccionario invertible de $B$ . Esto no contradice el Teorema 11.6 de Eisenbud porque $R$ se supone explícitamente noetheriano allí.
$\beta$ ) Tampoco es cierto que b) sea equivalente a c):
Tome $R=\mathbb Z$ y $\mathbb Z\subsetneq M=\bigcup \frac {1}{p_1\cdots p_i}\mathbb Z\subsetneq \mathbb Q$ donde $p_i$ es el $i$ - el primer lugar.
Entonces, para todos los primos $\mathfrak p\subset \mathbb Z$ el $\mathbb Z_\mathfrak p$ -Módulo $M_\frak p$ está libre de rango $1$ , ya que $$M_{(0)}=\mathbb Z_{(0)}(=\mathbb Q) \quad \operatorname {and}\quad M_{(p_i)}=\frac {1}{p_i}\mathbb Z_{(p_i)}$$ Sin embargo, el $\mathbb Z$ -Módulo $M$ no está generada finitamente ni es proyectiva (sobre $\mathbb Z$ , proyectiva=libre)

2) Creo que la única definición razonable de $\operatorname {Pic(R)}$ válido para cualquier anillo conmutativo es definirlo como el grupo de Picard del esquema afín $X=\operatorname {Spec}(R)$ .
Como en el caso de cualquier espacio anillado localmente $(X,\mathcal O_X)$ el grupo de Picard está formado por clases de isomorfismo de los grupos localmente libres $\mathcal O_X$ -Módulos de rango uno.
Esta es exactamente la definición utilizada con mucho éxito para los esquemas generales, no afines, pero también para los espacios topológicos, los colectores diferenciales, etc.

3) En nuestro caso especial $X=\operatorname {Spec}(R)$ la definición en 2) se traduce en términos puramente algebraicos a:
$\operatorname {Pic(R)}$ consiste en clases de isomorfismo de $R$ -módulos $M$ tal que existe un número finito de elementos $f_1,\cdots,f_n\in R$ con:
$\alpha$ ) $\sum Rf_i=R$
$\beta$ ) $M_{f_i}$ es un programa gratuito $R_{f_i}$ -de rango $1$ para todos $i$ .

Estos módulos se denominan localmente libre de rango uno .
Observación: $\beta$ ) implica que los módulos localmente libres de rango uno están generados finitamente sobre $R$ ya que "finitamente generado" es una condición local

4) Los módulos localmente libres de rango uno definidos en 3) también pueden caracterizarse como los módulos $M$ en $R$ tal que, de forma equivalente:
i) El módulo $M$ es de generación finita, proyectiva y para todos los primos $\mathfrak p\subset R$ el (¡necesariamente!) libre $R_\mathfrak p$ - módulo $M_\mathfrak p$ tiene rango $1$
ii) El módulo $M$ está generado finitamente y los módulos $M_\frak m$ están libres de rango $1$ en $R_\frak m$ para todos los ideales máximos $\mathfrak m\subset R$
iii) El canónico $R$ -mapa lineal $M\otimes_RM^*\to R:m\otimes \phi\mapsto\phi(m)$ es biyectiva
Nótese que se trata de caracterizaciones algebraicas agradables, pero la definición conceptual es la dada en 2) y 3).

Edición: ADVERTENCIA
La confusión se agrava por la desafortunada decisión de Bourbaki de definir un módulo proyectivo de rango $1$ como generado finitamente módulo $P$ para lo cual $M_\mathfrak p$ está libre de rango $1$ en $R_\mathfrak p$ para todos los primos $\mathfrak p\subset R$ .
Como mi ejemplo 1) $\beta$ ) muestra, omitiendo exigir que $P$ ser finitamente generado [como se hace en la condición (2) b) de Pete] significa aceptar módulos que ni siquiera son proyectivos, y que no satisfacen (2) a) ni (2) c) de la pregunta.

Answer 4

No hay ninguna diferencia. Si $M$ es localmente libre de rango finito, entonces $M$ es de presentación finita (y proyectiva).

Tomar una partición de la unidad $f_1,...,f_n$ , de tal manera que $M_{f_i}$ es libre en $R_{f_i}$ . Desde $R \to R_{f_1} \oplus ... \oplus R_{f_n}$ es fielmente plana, basta con demostrar las propiedades para $M_{f_1} \oplus ... \oplus M_{f_n}$ que es muy fácil.

Se prefiere la definición (2) porque revela el contenido geométrico: la clasificación de los haces de líneas.