He estado tratando de averiguar cómo factorizar ecuaciones cúbicas estudiando algunas hojas de trabajo en línea como la que aquí y me preguntaba si hay alguna forma generalizada de factorizar este tipo de ecuaciones o si sólo tenemos que recordar un montón de casos diferentes.
Por ejemplo, cómo se factorizaría lo siguiente:
$x^3 – 7x^2 +7x + 15$
Tengo problemas para factorizar ecuaciones como estas sin factores obvios.
Su ejemplo tiene coeficientes enteros. Nos ocupamos principalmente de ese caso, o del caso esencialmente equivalente de coeficientes racionales, ya que siempre podemos multiplicar por el lcm de los denominadores y obtener coeficientes enteros,
El siguiente resultado, denominado Teorema de las raíces racionales , a veces es útil.
Dejemos que $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$ sea un polinomio con coeficientes enteros $a_i$ y supongamos que $a_0\ne 0$ . Entonces, cualquier racional raíz de $P(x)=0$ debe tener forma $\frac{c}{d}$ , donde $c$ divide $a_0$ y $d$ divide $a_n$ ,
En nuestro caso, $c$ debe dividir $15$ y $d$ debe dividir $1$ . Eso da a los candidatos $\pm 1$ , $\pm 3$ , $\pm 5$ y $\pm 15$ .
Pruébalos todos. Tenemos mucha suerte, $3$ funciona. Para encontrar las otras raíces, podemos dividir nuestro polinomio por $x-3$ , obteniendo una cuadrática, que resolvemos utilizando la Fórmula Cuadrática.
Este procedimiento suele funcionar cuando se trata de un problema "inventado". En particular, si el cúbico está en un ejercicio escolar, es casi seguro que tiene una raíz racional. Pero el procedimiento no siempre funciona. La mayoría de los cúbicos con coeficientes enteros no tienen una raíz racional. Y el procedimiento sólo se aplica a los polinomios con coeficientes racionales.
Si no hay raíces racionales, estamos en problemas. Es cierto que existe una fórmula para las raíces del cúbico general, normalmente llamada Fórmula Cardano. Se remonta al siglo XVI. También se pueden encontrar fórmulas que utilizan funciones trigonométricas o hiperbólicas. Pero en general las fórmulas no son muy útiles.
Existen buenos métodos para que rápidamente aproximando las raíces con gran precisión,
En general, existe la ecuación cúbica pero ciertamente no se espera que lo sepas, y estoy seguro de que no te harán una pregunta que requiera que lo uses.
De hecho, creo que hay un factor (algo) obvio en tu pregunta :)
Una pista: $$1+7+7=15$$
El método general implica tres reglas importantes para los polinomios con coeficientes enteros :
Como esto es cúbico, hay al menos una solución racional real (usando las reglas 1 y 2). Vamos a encontrarla usando la regla 3: $$q = 1,\ p \in \{\pm1,\pm3,\pm5,\pm15\}$$ Fuerza bruta para encontrar que $-1$ es una solución. Así que ahora podemos escribir el polinomio como: $$(x+1)(x-a)(x-b)=x^3 - 7x^2 + 7x +15$$ Ahora usa: $$a+b=8$$ $$ab-a-b=7$$ Resuelve para obtener: $$a(8-a)-a-(8-a)=7 \to a^2-8a+15 = 0$$ Y consigue las dos soluciones restantes.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
