Esto está motivado por la pura curiosidad (provocada por esta pregunta ). Un mapa $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ se dice que Medible de Lebesgue-Lebesgue si la preimagen de cualquier subconjunto medible por Lebesgue de $\mathbb R^m$ es medible por Lebesgue en $\mathbb R^n$ . Esta clase de mapas es terriblemente incómoda de manejar, pero a veces puede ser útil. Y tal vez no sea tan malo en el caso $m=1$ especialmente si la respuesta a la siguiente pregunta es afirmativa.
Pregunta : ¿Es cada $C^1$ función $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ ¿Medible de Lebesgue-Lebesgue? Si no es así, ¿qué pasa con $C^\infty$ ¿funciones?
No pude averiguar la respuesta ni siquiera para $n=1$ . Sin embargo, hay algunas observaciones inmediatas (por favor, corríjanme si me equivoco):
- Como el mapa ya es medible por Borel, la condición deseada es equivalente a la siguiente: si $A\subset\mathbb R$ tiene medida cero, entonces $f^{-1}(A)$ es medible.
- Si $df\ne 0$ casi en todas partes, entonces $f$ es medible por Lebesgue-Lebesgue (porque localmente es una proyección de coordenadas, hasta una $C^1$ difeomorfismo). Así que la pregunta es esencialmente acerca de lo extraño $f$ puede estar en el plató donde $df=0$ .
- Si la respuesta es afirmativa para $C^1$ También es afirmativo para las funciones de Lipschitz (por un teorema de aproximación).
- La respuesta es negativa para $C^0$ Ya para $n=1$ . Un ejemplo es una biyección continua $\mathbb R\to\mathbb R$ que envía un conjunto tipo Cantor $K$ de medida positiva al conjunto Cantor estándar (de medida cero). Existe un subconjunto no medible de $K$ pero su imagen es medible ya que es un subconjunto de un conjunto de medida cero.
