¿Criterios para determinar si un polinomio de coeficiente real tiene raíz real?

Question

Dada una ecuación polinómica $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$ , donde $n$ es par y todos los coeficientes $a_i$ son reales, ¿cuál es la mejor manera de determinar si tiene una raíz real o no?

Lo sé. Teorema de Sturm pero me pregunto si es posible determinar esto por el signo de alguna forma de resolvente ( Por ejemplo , discriminante trabaja para $n=2$ ¿pero no 4 o más)?

Por favor, indíqueme alguna referencia si esto ya se ha estudiado. Gracias por su tiempo.

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Me disculpo por no haber buscado lo suficiente - Acabo de darme cuenta de que hay una pregunta similar discutida aquí antes, y ya ha recibido muchos comentarios útiles. Mi esperanza es encontrar una función de estos coeficientes reales y si el polinomio tiene raíz real o no se determina por su signo.

Answer 1

En efecto, hay una manera fácil de comprobar si una poli univariante con coeficientes reales tiene una raíz real, sin calcular las raíces.

Nótese que la respuesta para los polinomios de grado impar es siempre afirmativa. Para un polinomio de grado par $p(x)$ haz lo siguiente:

1. Calcula la forma Hermite del polinomio. Se trata de una matriz simétrica definida, por ejemplo aquí (en la página 4, cerca de la parte inferior indicada por $H_1(p)$ ). Las entradas de esta matriz se pueden rellenar con Identidades de Newton .

2. El número de raíces reales de $p(x)$ es igual a la firma de la matriz de Hermite $H_1(p)$ es decir, el número de valores propios positivos menos el número de valores propios negativos.

3. Como la forma de Hermite es simétrica, su poli característica tiene sólo raíces reales. Por lo tanto, podemos aplicar La regla de los signos de Descartes a su char. polinomio, lo que nos daría exactamente el número de valores propios positivos y negativos de la forma de Hermite. valores propios de la forma de Hermite.

Este proceso nos da el número exacto de raíces reales de $p(x)$ sin calcular las raíces, y en particular puedes ver si el polinomio tiene una raíz real.

Espero que esto ayude.

-Amirali Ahmadi

Answer 2

Lo siguiente puede ser útil:

Kurtz (1992) demuestra que si todos los $a_i$ son positivos, y $a_i^2 - 4a_{i-1}a_{i+1} >0$ para $1\leqslant i\leqslant n-1$ entonces todas las raíces son reales (y por tanto negativas) y distintas.

Answer 3

Dejemos que $P$ sea el espacio de todos los polinomios reales mónicos de grado $n$ ; es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Existe una hipersuperficie $\Delta$ en $P$ , recortado por la ecuación del discriminante. Al cruzar $\Delta$ el número de raíces reales aumenta o disminuye en $2$ . Además, cada vez que se cruza $\Delta$ el discriminante cambia de signo.

Cuando $n$ est $2$ o $3$ entonces $P \setminus \Delta$ sólo tiene dos componentes conectados. En una de estas componentes, todas las raíces son reales, y en la otra dos raíces son imaginarias. Así que puedes saber en qué componente estás simplemente mirando el signo del discriminante. Una vez que $n$ est $4$ o mayor, hay más de dos componentes conectados a $P \setminus \Delta$ . Así que el signo del discriminante no puede decir en qué componente se encuentra. No conozco una fórmula para el número de componentes conectados de $P \setminus \Delta$ pero se podría extraer uno de la descripción de la topología de $(P, \Delta)$ en Gelfand, Kapranov y Zelevinsky, Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales .

Una forma de interpretar su pregunta es

¿Existe un polinomio $F$ sur $P$ que es positivo en los polinomios con $n$ raíces reales, y negativas en caso contrario?

La respuesta es "no". La variedad $\Delta$ es irreducible (por la Uniformización del cuerno ). Por un lema estándar, cualquier subconjunto abierto no vacío de los puntos reales de $\Delta$ es Zariski denso en $\Delta$ . Por lo tanto, si $F$ se desvanece en la parte de $\Delta$ que forma la frontera de {Polinomios con todas las raíces reales}, entonces $F$ también se desvanece en todos los $\Delta$ . Trabajando un poco más, podemos demostrar que si $F$ desaparece en el orden impar en la frontera de {Polinomios con todas las raíces reales}, entonces también desaparece en el orden impar en los otros componentes conectados de $\Delta(\mathbb{R})$ .

Por otro lado, hay muchas formas buenas de determinar el número de raíces reales mediante cálculos polinómicos, como el método de Sturm.

Answer 4

Aquí está (un esbozo de) mi propia solución al problema de Sturm, respondiendo a la pregunta sobre el número de raíces reales de un polinomio en un segmento dado. La noción de discriminante juega el papel central en ella. Aquí está la solución:

Podemos suponer que la ecuación $f=0$ sólo tiene raíces simples (después de la división por el gcd de $f$ y $f'$ ). Entonces

1. Encuentra una estimación a priori de un valor absoluto de una raíz. Denota este número por $C(f)$ .

2. Encontrar un discriminante $\Delta(f)$ en términos de coeficientes de $f$ .

3. En términos de $C(f)$ y $\Delta(f)$ se puede encontrar explícitamente una estimación a priori $\varepsilon(f)>0$ desde abajo en el valor absoluto de una diferencia de raíces distintas de $f$ : $|x_i-x_j|>\varepsilon(f)$ ( $x_i$ , $x_j$ son raíces de $f$ ).

4. Para un segmento determinado $[a,b]$ dejar $a=z_1 < z_2 < ... < z_N(f)=b$ sea una secuencia que satisfaga $|z_{i}-z_{i+1}|<\varepsilon(f)$ para cualquier $i$ (en su caso $a=-C, b=C$ ). Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f(z_i)\ne 0$ . En ese caso, el número de raíces de $f$ sur $[a,b]$ es igual al número de cambios de signo en la secuencia $f(z_1), f(z_2), ..., f(z_N)$ .

Answer 5

Consulte "L. Yang, X. Hou y Z. Zeng. Un sistema discriminante completo para polinomios. Science in China, Ser.E, 39(6):628-646, 1996". La respuesta puede encontrarse en el documento. Es muy complejo.