El determinante de la matriz triangular de bloques como producto de los determinantes de los bloques diagonales

Question

Se me ha dado la siguiente matriz particionada, la matriz triangular superior:

$$ \begin {bmatrix} A_1 &* &* &* &* &* \\ 0& A_2 &* &* &* &* \\ .& 0& A_3 &* &* &* \\ .& 0& 0 &... &* &. \\ .& 0& 0& 0& ... &. \\ 0& .& ...& 0&0 & A_m \end {bmatrix} $$ en cuanto a $A_i$ son todas matrices de bloque.

Tengo que probar que el determinante de esta matriz general es: $$ \prod_ {n=1}^m \det A_i $$

ya demostramos en clase que es cierto para $ m=2 $ y podemos usarlo en nuestra prueba.

¡Gracias por tus respuestas!

Answer 1

Utilice una prueba por inducción sobre $m$ :

$(a)$ Me parece, entonces, que tienes tu caso base $m = 2$ : $P(2)$ ,
$\quad$ aunque basta, para un caso base, con demostrar que es (trivialmente) cierto para $m = 1$ .

$\quad$ Pero el proceso utilizado en clase por demostrar que es cierto para $m = 2$ será útil a la hora de hacer el
$\quad$ paso inductivo de la prueba.

$(b)$ Su hipótesis inductiva $P(k)$ sería asumir que esto es cierto para $m = k$ .

$\quad$ Es decir, asumir la verdad de: $$P(K):\quad \det \begin{bmatrix} A_1 &* &* &* &* &* \\ 0& A_2 &* &* &* &* \\ .& 0& A_3 &* &* &* \\ .& 0& 0 &... &* &* \\ .& 0& 0& & ... &* \\ 0& .& ...& 0&0 & A_k \end{bmatrix} = \prod_{i=1}^k \det A_i $$ $(c)$ A continuación, da el paso inductivo: tendrás que utilizar la hipótesis inductiva para demostrar que $P(k+1)$ es cierto: para $m = k + 1$ ... Es decir, suponiendo que $P(k)$ es cierto, demuéstralo: $$ \det \begin{bmatrix} A_1 &* &* &* &* &| &* \\ 0& A_2 &* &* &* &| &* \\ .& 0& A_3 &* &* &| &* \\ .& 0& 0 &... &* &| &* \\ .& 0& 0& ...& A_k &| &* \\ \hline& & & &\\ 0& 0& ...& 0&0 &| & A_{k+1} \end{bmatrix} = \prod_{i=1}^{k+1} \det A_i $$

Tenga en cuenta que para hacer esto, puede dividir la matriz en dos matrices de bloque en la diagonal ,

$(1)$ una de las cuales es una matriz triangular (en bloque) con $k$ sub-bloques $A_i$ para $1 < i < k$ a lo largo de su diagonal, cuyo determinante se conoce por la hipótesis inductiva (habiendo asumido su verdad), y

$(2)$ la otra con un bloque en la diagonal que llamamos $A_{k+1}$ .

Aquí es donde se puede utilizar la prueba utilizada en clase para $m = 2$

Eso es: $$\prod_{i=1}^{k+1} \det A_i = \left(\prod_{i=1}^{k} \det A_i\right)\cdot \det(A_{k+1}) $$

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Entonces habrás demostrado que el determinante de una matriz triangular particionada es producto de los determinantes de las matrices en bloque de la diagonal.

Answer 2

Esbozo de un argumento alternativo: el determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus entradas diagonales. Se pueden hacer operaciones elementales de filas y columnas a la matriz grande que hacen que cada $A_i$ triangular superior sin cambiar ninguna de las entradas en $A_j$ para $i \neq j$ (teniendo en cuenta los intercambios de filas que tenga que realizar). Una vez hecho esto, toda la matriz será triangular superior, por lo que su determinante es el producto de las entradas diagonales (y luego corrige el signo según la paridad de los intercambios de filas que hayas realizado).

No creo que esto sea lo que su instructor quería ya que no utiliza el caso de 2 por 2, pero es como yo pienso en este hecho.