Para una función de onda radialmente simétrica es $\Psi$ permitido explotar en $r=0$ siempre que $|\Psi|^2r^2$ ¿no?

Question

Para una función de onda esféricamente simétrica la probabilidad es proporcional a $|\Psi|^2r^2$ y si la función de onda estalla en $r=0$ entonces en $r=0$ $|\Psi|^2=\infty$ et $r^2=0$ lo que significa que la probabilidad es proporcional a $\infty*0$ y por su cuenta $\infty*0$ sería indeterminado, sin embargo para una distribución de probabilidad continua $|\Psi|^2r^2$ seguiría teniendo un valor determinado en $r=0$ dado por el límite como $r$ se acerca a $0$ y para algunas funciones, en las que tiene $\infty*0$ en un punto determinado, el valor sigue siendo finito.

¿Significa esto que $\Psi$ se le permite explotar en $r=0$ siempre que $|\Psi|^2r^2$ ¿no?

Answer 1

Sí. Siempre que la función de onda resultante sea normalizable. La cuestión es que, en coordenadas polares, la parte radial del laplaciano es una punto singular de la ecuación en $r=0$ . Dependiendo de la forma del potencial, tales puntos singulares pueden estar en la punto límite o círculo de límites caso. En este último caso existe una familia de condiciones de contorno de un parámetro que puede imponerse en $r=0$ para el que el operador de Schroedinger sigue siendo autoadjunto. Para tres dimensiones, y para el momento angular $l>0$ estamos en el caso del punto límite y la función de onda tiene que seguir siendo finita. Para la $l=0$ estamos en el caso del círculo límite y se permite que la función de onda explote siempre que impongamos condiciones de contorno de la forma $$ \psi(r)\sim A\left(1-\frac{\alpha_s}{r}\right),\quad r\to 0, $$ donde $\alpha_s$ es el longitud de dispersión . Físicamente, estas condiciones surgen cuando hay algo justo en el origen que es demasiado pequeño para ser resuelto por las longitudes de onda que nos interesan. Esto ocurre en el caso de los gases atómicos fríos, donde $\alpha_s$ es parametrizar la manera en que un átomo percibe a otro.

Answer 2

1. Desde el punto de vista del espacio de Hilbert $H=L^2(\mathbb{R}^3)$ la función de onda se permite explotar no sólo en el origen $r=0$ pero también en otros puntos, siempre que sea integrable al cuadrado.

2. Ahora bien, si la función de onda debe satisfacer la TISE hay más restricciones.

3. Si la TISE es esféricamente simétrica, suele ser útil utilizar coordenadas esféricas, como hace OP. Condiciones adicionales en $r=0$ se discute, por ejemplo, en este & este Mensajes de Phys.SE.