Dejemos que $\omega=\sum_{j=1}^ndx_j\wedge dy_j$ sea la forma estándar de Kähler en $\mathbb{C}^n$ .
Estoy tratando de demostrar que $*\frac{\omega^k}{k!}=\frac{\omega^{n-k}}{(n-k)!}$ , donde $*$ es el operador estelar de Hodge.
He encontrado la siguiente argumentación aquí (comienzo de la página 5):
"Vemos que $\left|\frac{\omega^k}{k!}\right|^2=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ y $\text{vol}_{\mathbb{C}^n}=\frac{\omega^n}{n!}$ Así que $*\frac{\omega^k}{k!}=\frac{\omega^{n-k}}{(n-k)!}$ ."
Entiendo el argumento una vez que acepto $\left|\frac{\omega^k}{k!}\right|^2=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pero no sé cómo probarlo.
Tal vez sea trivial, pero todavía estoy en el nivel cero de la teoría de Hodge.