Medida de Haar sobre espacios cotizados

Question

En la ecuación 23 del siguiente documento https://arxiv.org/pdf/1803.10743.pdf la integración de Haar sobre el espacio cotizante $G/H$ se define como sigue

$$\int_{G / H} f(x) d x=\int_{G} f(g H) d g$$ , donde $H$ es un subgrupo de $G$ . ¿Puede alguien explicar qué hace la notación $f(gH)$ donde $g \in G$ significa ? ¿Y puede alguien justificar la fórmula anterior?

Answer 1

Elementos generales de $G/H$ se suelen escribir como cosets de la izquierda. Es decir, $G/H=\{ gH : g \in G\}$ . Ahora, estás integrando una función medible $f: G/H \to \Bbb{C}$ en $G/H$ por lo que tiene sentido hablar de $f(gH)$ . De hecho, cuando se pone $f(x)$ estás asumiendo que $x\in G/H$ Así que $x$ parece $gH$ para algunos $g\in G$ . Obsérvese que el mapa $g\mapsto f(gH)$ es ahora una función medible de $G$ a $\Bbb{C}$ y ya tiene una medida Haar en $G$ . De esta forma, la fórmula que escribes sólo te indica una forma de integrar sobre $G/H$ utilizando la medida de Haar en $G$ .