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estimación de la desviación estándar a partir de los datos

Supongamos que los resultados $x_1,x_2,x_3$ de un experimento son valores de una variable aleatoria X con una varianza desconocida $\sigma^2.$ ¿Cuál es la mejor aproximación de $\sigma^2$ ?

D. Luenberger menciona en "Investment Science" que la mejor aproximación de $\sigma^2$ es $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 (x_i-\hat x)^2$ , donde $\hat x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}.$ ¿Dónde puedo encontrar una prueba de ello?

Por qué esta fórmula es diferente de la "varianza de los datos" que por "Estadística" de D. Freedman et al, es $\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 (x_i-\hat x)^2$ ?

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La primera fórmula es la varianza de la muestra que por lo general es: $\hat \sigma_{n}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar x)^2$ mientras que la segunda fórmula es la varianza de la población : $\hat \sigma_{n}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar x)^2$ la única diferencia está en el denominador, ya que la fórmula de la muestra corrige el sesgo de las muestras pequeñas. Tenga en cuenta que para las muestras grandes $n$ las dos fórmulas dan esencialmente el mismo valor, pero para muestras pequeñas, la media muestral $\bar x$ es probable que esté mucho más cerca de los datos de la muestra que de la verdadera media $\mu$ será, por lo que utilizar la fórmula de la población subestimará la varianza, en promedio.

En cuanto a una prueba, busque el estimador insesgado (UE) del desviación . Verás que la fórmula de la varianza muestral tiene un valor esperado igual a la varianza real. En cuanto a que es el "mejor" estimador, en general, no hay un único "mejor" estimador, depende de la distribución de muestreo que se asuma. Por ejemplo, la varianza muestral es la estimador insesgado de varianza mínima para datos con distribución normal. Sin embargo, hay otras formas de definir "mejor" como máxima verosimilitud ou máxima probabilidad posterior para la estimación de máxima verosimilitud y bayesiana, respectivamente.

Espero que eso ayude.

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