¿Cómo debe representarse la indeterminación en un plano cartesiano?

Question

Tengo un estudiante en una clase de matemáticas de último año, que se empeña en que es incorrecto representarlo como un agujero, aunque esta es la forma estándar de representarlo.

No pude encontrar ningún problema en su razonamiento. Así que le he pedido que exponga su razonamiento en un documento, para que alguien que sepa más que yo sobre este tema pueda llegar al fondo de la cuestión. El enlace es el siguiente:

http://www.slideshare.net/MrIndererminate/indeterminate-is-not-synonymous-with-undefined

Answer 1

Nótese que sólo porque todos los números "son igualmente válidos" para la respuesta de $\frac00$ no muchos cualquier de ellos válidos. De hecho, una implicación de su argumento es que todas las respuestas son igualmente inválido .

Además, definimos las operaciones como funciones (esto será importante en un minuto). Dé a su alumno un ejemplo de la teoría de los números:

Dejemos que la función de sucesión se defina así:

$$s(n)=n+1$$

Y así definimos la adición $n+k$ como $n$ se conecta a la función de sucesión $k$ tiempos.

Pero hay una definición de función que se vuelve muy importante aquí. Una función, para cada entrada única, debe tener una única salida (esta salida puede ser indefinida).

Así que podemos definir:

$$\frac xy=d(x,y)= \begin{cases} z\text{ s.t. } zy=x, & \text{if } x,y \neq 0\\ \text{undefined}, & \text{if } x,y = 0\\ \end{cases}$$

Porque si no, sin ese segundo caso, no podemos definir la división como una función y no podemos definirlo como una operación, y creo que puedes ver las implicaciones algebraicas de eso.

Otro ejemplo es la función raíz cuadrada - $\sqrt{x}\geq0$ para todos $x>0$ Pero, ¿no tiene sentido que la raíz cuadrada nos dé dos respuestas, una para el positivo y otra para el negativo? No. Porque queremos que las operaciones sean funciones. Y así, definimos que la salida es la raíz cuadrada principal, aquella que, si la graficas en el plano complejo con coordenadas polares, tiene la menor $\theta$ valor. Cuando se trata de números reales, éste es siempre el número positivo.

Y eso, en pocas palabras, es por lo que $\frac00$ es indefinido. Dígale a su alumno que si sigue este camino de razonamiento -es decir, si se aferra a un punto sin entender sus implicaciones- le será imposible llegar a ningún sitio en el campo de las matemáticas: el álgebra abstracta, el análisis real, todos se desmoronarían con su definición. Ni siquiera tendríamos bien definidos los números racionales. Los matemáticos no somos idiotas - tenemos nuestras razones.

En cierto sentido, estoy siendo arrogante al llamarme matemático. Pero en otro sentido, cualquiera que se dedique a las matemáticas voluntariamente es un matemático, y ese cuestionamiento es exactamente lo que hace que las matemáticas sean increíbles.

Pero probablemente tenga que dejar de soltar teorías "revolucionarias" sobre hechos matemáticos básicos.

Answer 2

No hay nada especial en $\frac{0}{0}$ en comparación con $\frac{1}{0}$ o cualquier otro número "dividido por cero" en este caso. La división por cero es simplemente indefinida: no se puede hacer. El razón no se puede dividir por cero es básicamente lo que explica el estudiante, y tiene que ver con el hecho de que no se puede obtener un resultado único. Pero esto no significa que cualquier respuesta sirva, sino que dividir por cero es una operación ilegal. No puedo entender $\frac{1}{0}$ más de lo que pueda tener sentido $\frac{1}{\text{cats and dogs}}$ .

Esto significa que la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ no está definido para todos los valores de $x$ En realidad, es indefinido cuando $x = 1$ ya que la ecuación no tiene sentido. Una forma más explícita de escribirla sería $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x-1} & \text{when } x \neq 1 \end{cases}$$ $f$ no especifica qué hacer cuando $x = 1$ Por eso lo trazamos con un "agujero".

Esto es lo mismo que, por ejemplo, la ecuación de un semicírculo $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ La fórmula sólo tiene sentido para $-1 \leq x \leq 1$ . Al trazar la función $g(x)$ , se traza sólo el semicírculo, sin líneas horizontales o verticales adicionales. Preguntas como "¿cuál es el valor de $g(x)$ en $x = 2$ ?" no tienen sentido, ya que $g(x)$ no da una regla que funcione para ese valor de $x$ .

La singularidad "extraíble" es una pista falsa. Se puede "parchear" la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ especificando qué hacer cuando $x = 1$ y está claro que lo razonable aquí es parchear el agujero con el valor $2$ . Pero ahora se trata de una función diferente:

$$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x-1} & \text{when } x \neq 1 \\ 2 & \text{when } x = 1\end{cases}$$

Puede observar que $h(x)$ también viene dada por la fórmula más sencilla $h(x) = x + 1$ . Pero $h$ no es la misma función que $f$ ya que $h$ sabe qué hacer cuando se le da $x = 1$ , mientras que $f$ no lo hace.

Answer 3

Imaginemos que queremos calcular $\dfrac{0}{0}$ .

De la secuencia siguiente, podemos concluir que $\dfrac{0}{0} = 0 $

$\dfrac{0}{0.1} = 0, \dfrac{0}{0.01} = 0, \dfrac{0}{0.001} = 0, \dfrac{0}{0.0001} = 0,$

Pero a partir de la secuencia siguiente, podemos concluir que $\dfrac{0}{0}=1$

$\dfrac{0.1}{0.1} = 1, \dfrac{0.01}{0.01} = 1, \dfrac{0.001}{0.001} = 1, \dfrac{0.0001}{0.0001} = 1$

Así que no es posible entender lo que es $\dfrac{0}{0}$ . aunque el límite de la función $f(x) = \dfrac{x}{x}$ en $x\to 0$ se puede calcular, pero no podemos decir nada sobre $\dfrac{0}{0}$ , lo que significa que es indefinido.