Un subconjunto incontable de Reales genera Reales mediante combinaciones lineales integrales finitas

Question

Una pregunta que se me ha ocurrido hoy mismo y con la que no he podido llegar a nada.

Dado un subconjunto incontable de los reales, $S$ ¿es siempre posible para cualquier $r \in \mathbb{R}$ que podemos tomar un subconjunto finito de $S$ , $\{s_1, s_2, \ldots, s_n\}$ y $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \subset \mathbb{Z}$ tal que $\sum_{i = 1}^n a_is_i = r?$

Parece que si $S$ incluye un intervalo, entonces este problema debería ser bastante sencillo. Un siguiente intento natural es considerar el conjunto de números irracionales en $(0, 1)$ pero no pude llegar a ninguna parte con eso.

Uno de mis compañeros sugirió ver $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial y tratar $S$ como una especie de base.

¿Alguna idea o solución?

Answer 1

No es así. Por lo tanto, no es posible demostrar la afirmación, pero es difícil encontrar un contraejemplo explícito.

Sin embargo, utilizando el axioma de la elección todavía es posible conseguir uno. Consideremos $(s_i)_{i \in I}$ una base de $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ . Desde $\mathbb{R}$ es incontable, mientras que $\mathbb{Q}$ es contable, el propio conjunto $I$ será incontable. Ahora toma un $i_0$ en $I$ y considerar $S= (s_i)_{ i \in I \backslash\{i_0\}}$ y $r = s_{i_0}$ . No se puede escribir $s_{i_0}$ como una combinación racional de las otras $s_i$ 's.

La independencia racional de los números reales puede ser complicada. Por ejemplo, no es fácil demostrar que las potencias racionales de $\pi$ son racionalmente independientes.

Me pregunto si conjuntos de números como $2^{c^2}$ con $c$ en algún conjunto de tipo Cantor (formado sólo por irracionales ) son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Si crees que $\Bbb R$ como espacio vectorial sobre $\Bbb Q$ tiene una base (y se deduce del Axioma de Elección que cualquier espacio vectorial sobre cualquier campo tiene una base), entonces esto es ciertamente falso. Dicha base debe ser claramente incontable (ya que $\Bbb Q$ -Los espacios vectoriales de dimensión contable son contables como un conjunto, que $\Bbb R$ no lo es), y siendo $\Bbb Q$ -linealmente independiente, un vector base cualquiera de dicha base no es un $\Bbb Q$ -combinación lineal de los otros (que siguen formando un conjunto incontable de números reales). Por supuesto, al ser una $\Bbb Z$ -combinación lineal implica ser un $\Bbb Q$ -combinación lineal.

Este argumento no es constructivo (ya que no se puede dar explícitamente tal base), pero sólo depende de que se tenga un conjunto incontable de $\Bbb Q$ -números reales linealmente independientes. Podría ser posible construir explícitamente tal conjunto incontable, y obtener una prueba que no dependa del Axioma de Elección. Ahora mismo no se me ocurre tal construcción, pero parece probable que se pueda.