Demostración de un resultado sobre la integral de Riemann Stieltjes y funciones de variación acotada

Question

Me encontré con el siguiente resultado que no pude probar. Aceptaría con gusto algunas pistas.

Sea f una función acotada definida en $[a,b]$ y que $$ be a function of bounded variation on [a,b]. Furthermore let $ V(x)=V(a,x) $ be the total variation function on . Then if $ f $ is Riemann-Stieltjes integrable with respect to on $ [a,b] $ then $ f $ is Riemann-Stieltjes integrable with respect to $ V $ and $ V $ on $ [a,b]$.

Sé que siempre que $f(x)$ es continua, $$ of bounded variation on [a,b] then $ f(x)$ es integrable por Riemann-Stieltjes con respecto a .

Gracias.

Answer 1

Tenemos $\vert f\vert \le M<\infty$ en $[a,b].$

Dejemos que $\epsilon >0$ y elija una partición $P = \left \{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \right \}$ tal que

$\tag 1 V(b) <\sum_{k=1}^{n}\vert \Delta \alpha_k\vert +\frac{\epsilon }{4M}$

y

$\tag 2 \sum_{k=1}^{n}\vert f(t_k')-f(t_k)\vert \vert \Delta \alpha_k\vert <\frac{\epsilon }{4}$ .

Ahora elija el $t'_k\le t_k$ para que

$\sum_{k=1}^{n}\vert M_k(f)-m_k(f)\vert \vert \Delta \alpha_k \vert<\sum_{k=1}^{n}\vert f(t_k')-f(t_k)\vert \vert \Delta \alpha_k \vert+\frac{\epsilon }{4}$ .

Entonces,

$U(P, f, V ) − L(P, f, V )=\sum_{k=1}^{n}(M_k(f)-m_k(f))\Delta V=\sum_{k=1}^{n}(M_k(f)-m_k(f))(\Delta V-\vert \alpha_k\vert)+\sum_{k=1}^{n}(M_k(f)-m_k(f))\vert \alpha_k\vert<$

$2M\sum_{k=1}^{n}(\Delta V_k-\vert\Delta \alpha_k\vert )+\frac{\epsilon }{2}=2M(V(b)-\sum_{k=1}^{n}\vert \Delta \alpha_k \vert)+\frac{\epsilon }{2}<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon,$

que muestra que $f$ es integrable R-S con respecto a $V$ . La segunda parte es ahora inmediata.

editar: para demostrar el 2)., definir $S=\left \{ k\in P:\Delta \alpha_k\ge 0 \right \}$ y $T=\left \{ k\in P:\Delta \alpha_k< 0 \right \}$ . A continuación, elija $t_k,t'_k$ para que $f(t_k)-f(t'_k)>M_k(f)-m_k(f)-\epsilon /8V(b)$ siempre que $k\in S$ y $f(t'_k)-f(t_k)>M_k(f)-m_k(f)-\epsilon/8V(b)$ siempre que $k\in T.\ $

Entonces,

$\sum_{k=1}^{n}\vert M_k(f)-m_k(f)\vert \vert \Delta \alpha_k \vert<\sum_{k\in S}(f(t_k)-f(t'_k))\vert \Delta \alpha_k\vert+\sum_{k\in T}(f(t'_k)-f(t_k))\vert \Delta \alpha_k\vert+$

$\epsilon /8V(b)\sum_{k=1}^{n}\vert \Delta \alpha_k \vert =\sum_{k=1}^{n}(f(t_k)-f(t'_k))\Delta \alpha_k +$

$\epsilon /8V(b)\sum_{k=1}^{n}\vert \Delta \alpha_k \vert <\epsilon /8+\epsilon /8=\epsilon/4.$

Así, $\tag 3 \sum_{k=1}^{n}\vert f(t_k')-f(t_k) \vert \Delta\alpha_k\vert <\sum_{k=1}^{n}\vert M_k(f)-m_k(f)\vert \vert \Delta \alpha_k \vert<\epsilon /4.$