Número de conjuntos de cardinalidad mínima en una subcubierta finita de una cubierta abierta

Question

Estoy aprendiendo por mi cuenta la entropía topológica a partir de una serie de apuntes online, y la definición de entropía de una cubierta abierta $\alpha$ de $X$ es la siguiente. La entropía de $\alpha$ es $H(\alpha)= log(N(\alpha))$ , donde $N(\alpha)$ es el número de conjuntos en una subcubierta finita de $\alpha$ de cardinalidad mínima. (El espacio X es compacto, por lo que N es siempre finito).

También para dos cubiertas abiertas, escribimos $\alpha \leq \beta$ si para cada $B\in \beta$ existe un $A\in \alpha$ s.t. $B\subset A$ . También $\alpha V \beta= \{A\cap B: A \in \alpha, B \in \beta \}$

Las siguientes proposiciones se dan sin ninguna prueba. Aquí $\alpha$ y $\beta$ son dos cubiertas abiertas de X.

1) $H(\alpha)\geq 0$

2) $H(\alpha)= 0 \ $ si $ N(\alpha)=1 \ $ si $ X \in \alpha$

3) Si $\alpha \leq \beta$ entonces $H(\alpha)\leq H(\beta)$

4) $ H(\alpha V \beta) \leq H(\alpha) + H(\beta) $

5) Para $T: X->X$ continua, $H(T^{-1}\alpha) \leq H(\alpha)$

Tengo 1,2 pero necesito ayuda en el resto si es posible. Lo que me confunde es cómo se relacionan las subportadas entre sí si sabemos cómo se relacionan las portadas entre sí. Por ejemplo si para cada conjunto B en $\beta$ existe un $A \in \alpha$ ¿se mantendrá esa propiedad para los conjuntos que acaben en las subcubiertas? No estoy convencido. Gracias de antemano.

Answer 1

El truco para demostrar que $H(\alpha)\leqslant H(\beta)$ para tapas abiertas $\alpha$ y $\beta$ es demostrar que, si podemos encontrar una subcubierta finita de $\beta$ de tamaño $n$ entonces podemos obtener una subcubierta finita de $\alpha$ de tamaño $\leqslant n$ .

Apliquemos esto a $(3)$ . Tenemos cubiertas abiertas $\alpha$ y $\beta$ con $\alpha\leqslant\beta$ . Supongamos que $\{B_{1},...,B_{n}\}$ es una subcapa finita de $\beta$ de tamaño $n$ Así que $X=\cup_{i=1}^{n}B_{i}$ . Desde $\alpha\leqslant\beta$ para cada $i$ podemos encontrar $A_{i}\in\alpha$ tal que $B_{i}\subseteq A_{i}$ . Así, $X=\cup_{i=1}^{n}A_{i}$ Así que $\{A_{1},...,A_{n}\}$ es una subcapa finita de $\alpha$ de tamaño $n$ . Así, $N(\alpha)\leqslant n$ (ya que $N(\alpha)$ se define para tener una cardinalidad mínima). Tomando $n=N(\beta)$ muestra que $N(\alpha)\leqslant N(\beta)$ . La toma de registros da $H(\alpha)\leqslant H(\beta)$ según sea necesario.

Se puede utilizar un método similar para demostrar el resto. Para $(5)$ Obsérvese que $T(X)\subseteq X$ . Así que si $\{A_{1},...,A_{n} \}$ es una subcapa finita de $\alpha$ de tamaño $n$ , entonces para cada $x\in X$ podemos encontrar $j$ tal que $T(x)\in A_{j}$ . Así, como $T$ es continua, esto demuestra que $\{T^{-1}(A_{1}),...,T^{-1}(A_{n})\}$ es una cubierta de $X$ . En particular, es una subcubierta finita de $T^{-1}(\alpha)$ de tamaño $n$ . Así, $N(T^{-1}(\alpha))\leqslant N(\alpha)$ .

Para $(4)$ se necesita un método ligeramente diferente. Supongamos que $\{A_{1},...,A_{m} \}$ y $\{B_{1},...,B_{n} \}$ son cubiertas finitas de $\alpha$ y $\beta$ respectivamente. Entonces, $$X=\bigcup_{i=1}^{m}A_{i}=\bigcup_{j=1}^{n}B_{j}.$$ Por lo tanto, para cualquier $k\in\{1,...,m\}$ deducimos que $$A_{k}=A_{k}\cap X=\bigcup_{j=1}^{n}(A_{k}\cap B_{j}).$$ Tomando la unión por encima de todo $k$ deducimos que $$X=\bigcup_{k=1}^{m}A_{k}=\bigcup_{k=1}^{m}\bigcup_{j=1}^{n}(A_{k}\cap B_{j}).$$ Así, $\{A_{i}\cap B_{j}:1\leqslant i\leqslant m,\, 1\leqslant j\leqslant n\}$ es una subcapa finita de $\alpha \vee \beta$ de tamaño $mn$ . Por lo tanto, $N(\alpha \vee \beta)\leqslant mn$ . Tomando $m=N(\alpha)$ y $n=N(\beta)$ da $N(\alpha \vee \beta)\leqslant N(\alpha)N(\beta)$ . La toma de registros da $(4)$ (utilizando el hecho de que $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ ).

No estoy seguro de si sus notas lo mencionan, pero el $\vee$ se utiliza para denotar el hecho de que $\alpha \vee \beta$ es el únase a (es decir, el límite superior mínimo) de $\alpha$ y $\beta$ . Es decir, $\alpha \leqslant \alpha\vee\beta$ y $\beta \leqslant \alpha\vee\beta$ y para cualquier tapa abierta $\gamma$ satisfaciendo $\alpha\leqslant\gamma$ y $\beta\leqslant\gamma$ tenemos $\alpha\vee\beta\leqslant\gamma$ .