incrustación del complejo CW finito en el espacio euclidiano

Question

¿Cómo puedo demostrar que cualquier espacio CW finito puede incrustarse en un espacio euclidiano de cierta dimensión? Cualquier ayuda o referencia sería muy apreciada.

Answer 1

Si su complejo CW finito es de dimensión topológica $n$ , entonces es un $n$ -espacio métrico compacto, por lo que, por el teorema de Menger-Nöbeling (1932), se puede incrustar en ${\mathbb R}^{2n+1}$ . En este teorema $2n+1$ es la menor dimensión posible, ya que existe $n$ -complejos simpliciales de dimensiones que no se pueden incrustar en ${\mathbb R}^{2n}$ .

Answer 2

Pues bien, cualquier complejo simplicial puede realizarse como un subconjunto del simplex en $\mathbb{R}^V$ (donde $V$ es el número de vértices). Pero un complejo CW sólo puede ser incrustado hasta la homotopía, parece (ver la respuesta a su pregunta duplicada en math.stackexchange)