¿Es necesario que la frecuencia sea un número entero para que una señal sea periódica?

Question

Por favor, ayúdenme a entender la periodicidad. ¿Por qué puede \$T=\frac{1}{3}\$ ser periódica pero \$T=\frac{1}{\sqrt{3}}\$ ser aperiódico?

Por ejemplo:

$$\cos(2\pi\times 3\times n) \Rightarrow \mathrm{periodic}$$

$$\cos(2\pi\times\sqrt{3}\times n) \Rightarrow \mathrm{aperiodic}$$

Entiendo que para que una señal sea periódica, \$f=\frac{k}{n}\$ (la frecuencia debe ser racional), pero ¿por qué es \$f=\frac{\sqrt{3}}{1}\$ ¿No se considera periódico?

¿Es porque \$\sqrt{3}=1.73205...\$ no es un número entero?

Answer 1

Es una especie de cuestión semántica, mientras:

$$ x[n] = \cos(2 \pi 3 n) $$

es claramente periódica con periodo de 1, la otra señal de tiempo discreto

$$ y[n] = \cos(2 \pi \sqrt{3} n) $$

no es periódico. No hay ningún número entero \$N\$ tal que \$y[n+N]=y[n] \quad \forall n \$ . Mientras que \$y[n]\$ no es periódica, la contraparte en tiempo continuo de la misma

$$ y(t) = \cos(2 \pi \sqrt{3} t) $$

es periódico porque hay es un valor real \$T\$ tal que \$y(t+T)=y(t) \quad \forall t \$ .