Grupos fundamentales de topos

Question

Ayer mismo escuché la noción de un grupo fundamental de un topos, así que lo busqué en el nLab, donde se da la siguiente definición interesante:

Si $T$ es un topos de Grothendieck que surge como la categoría de haces en un sitio $X$, entonces existe la noción de objetos localmente constantes y localmente finitos en $T$ (lo cual supongo que simplemente significa que hay una cubierta $(U_i)$ en $X$ tal que cada restricción a $U_i$ es constante y finita). Si $C$ es la subcategoría de $T$ que consiste en todos los objetos localmente constantes y localmente finitos de $T$, y si $F:C\rightarrow FinSets$ es un functor ("functor de fibra"), que cumple ciertas propiedades sin nombre que deberían implicar prorepresentabilidad, entonces se define $\pi_1(T,F)=Aut(F)$.

Ahora, si $X_{et}$ es el pequeño sitio étale de un esquema conectado $X$, entonces es bien conocido que la categoría de haces localmente constantes y localmente finitos en $X$ es equivalente a la categoría de recubrimientos étale finitos de $X$, y con la noción adecuada de functor de fibra seguramente se deduce que el grupo fundamental étale y el grupo fundamental del topos en $X_{et}$ coinciden.

De manera similar, como menciona la entrada de nlab, si $X$ es un espacio topológico agradable, los haces localmente finitos y localmente constantes corresponden a espacios de recubrimiento finitos (a través del "espace étalé"), y deberíamos recuperar la completación profinita del grupo fundamental topológico usual.

Antes de abordar mi pregunta principal: ¿Logré resumir esto correctamente, o hay algo incorrecto en lo anterior?

Mi pregunta:

¿Se ha estudiado el grupo fundamental de otros topos, y en qué contexto o disfraz podríamos ya conocerlos? Por ejemplo, ¿qué se sabe sobre el grupo fundamental de la categoría de haces fppf sobre un esquema $X$?

Answer 1

El grupo fundamental profinamente de $X_{fppf}$ como lo defines es nuevamente el grupo fundamental étale de X. Más precisamente, el funtor (de puntos)

$f : X_{et} \to \mathrm{Sh}_{fppf}(X)$

es plenamente fiel y tiene como imagen esencial las haces constantes localmente finitos (la imagen claramente está contenida allí, ya que los mapas étale finitos son incluso localmente finitos constantes, y mucho menos fppf localmente así). Demostración en 3 pasos:

1. Es plenamente fiel por Yoneda (también notar que está bien definido por descenso fppf para morfismos).

2. Ambos lados son haces (pilas) fppf en $X$, por el descenso fppf clásico.

3. Combinando 1 y 2, basta mostrar que un haz que queremos alcanzar es solo localmente alcanzado fppf, lo cual es obvio ya que localmente es constante finito.

Nótese que la misma demostración también funciona para $X_{et}$ o cualquier cosa intermedia - una vez que tu topología divide los mapas étale finitos realmente no importa qué sea. Así que generalmente solo trabajamos con el mínimo, la topología étale pequeña. Como me dijo Mike Artin a propósito de algo así, "¿Por qué hacer una maleta cuando solo vas a la vuelta de la esquina?"

Answer 2

En respuesta a la 'pre-pregunta', sí, bastante correcto. Solo añadiría que la cubierta $(U_i)$ en X en tu segundo párrafo es una cubierta del objeto terminal en el sitio $X$, si lo tiene. Si no, entonces creo que es un poco más complicado.

Joyal y Tierney demostraron que todo topos es el topos de haces en un grupoide localizado (un grupoide interno a la categoría de locales) y este grupoide es básicamente el grupoide fundamental de ese topos. Si uno asume condiciones sucesivamente más fuertes sobre el topos, entonces este grupoide se parece más a las nociones más familiares. Si el topos tiene un punto (¡no todos lo tienen!) entonces se puede hablar del grupo fundamental (que, en general, es localizado). Luego, si el topos está localmente conectado, se vuelve más agradable. Marta Bunge ha hecho mucho trabajo sobre esto, con varias personas.

En cuanto a la conexión con otras nociones, dejaré que los geometras algebraicos respondan a eso.

Answer 3

V. Zoonekynd ha definido el grupo fundamental étale de un montón algebraico utilizando este punto de vista.

Por lo que entiendo, él asocia con un topos localmente conectado $T$ su topos de sumas de objetos localmente constantes $SLC(T)$. Este es un topos "localmente galoisiano" y si $T$ tiene al menos un punto en cada componente conectada, es el topos clasificante del grupo fundamentaloide de $T$. La inclusión induce un morfismo $T \to SLC(T)$ que es universal con respecto a los morfismos a topos localmente galoisianos.