Análogo de dimensiones infinitas de las matrices ortogonales

Question

En el análisis funcional se aprende que los operadores autoadjuntos son la generalización de dimensión infinita de las matrices simétricas y el operador dual es la generalización de la matriz transpuesta conocida del álgebra lineal.

Mi pregunta es si existe un nombre para los operadores lineales $T$ en espacios de dimensión infinita que satisfacen $$T^{-1} = T^{*} \qquad \text{and} \qquad \| T \| = 1,$$ como las matrices ortogonales.

Answer 1

Sí. Se llaman operadores unitarios y $T^{-1}=T^*$ ya implica $\|T\|=1$ . De hecho, tal $T$ incluso tiene que ser una isometría, ya que

$$\|Tx\|^2=(Tx,Tx)=(T^*Tx,x)=(x,x)=\|x\|^2$$

para todos $x$ (al igual que en el caso de las dimensiones finitas).