Integración por partes - cuando no conocemos la derivada

Question

Sólo estaba un poco inseguro de cómo va esto exactamente. Así que me preguntaba si la siguiente expresión es correcta: $$\int_a^b u(x)v(x)\,dx= \left[ \left( \int_{-\infty}^x u(t)\,dt \right) v(x) \right]_{x=a}^{x=b} - \int_a^b \int_{-\infty}^x u(t) v'(x) \, dt \, dx$$

Dado que $u(x)$ se define en toda la línea real. ¿Son correctos los límites de las integrales, porque no estoy seguro? También si $a=-\infty$ qué método debo utilizar para resolver el límite: $$\lim_{x \to -\infty} \left( \int_{-\infty}^x u(t) \, dt \right) v(x) = ?$$

Para dar un poco de contexto en el problema concreto que tengo que realmente y $b=\infty$ y $u(x) = (x-\mu) \exp\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ , por lo que la parte útil es que en el infinito es 0.

Answer 1

Donde tienes $\int_{-\infty}^x u(t)\,dt$ lo que se necesita es una antiderivada de $x\mapsto u(x)$ y lo que usted tiene ciertamente servirá para ese propósito si $\int_{-\infty}^x u(t)\,dt$ se comporta adecuadamente. Pero, por ejemplo, si $u(t)\ge 1$ para todos $t$ , entonces el valor de esa integral es infinito. Se podría utilizar $\int_0^x u(t)\,dt$ . Eso difiere de lo que tienes por una constante si $\int_{-\infty}^0 u(t)\,dt$ es un número finito. Y para cualquier función que sirva en ese papel, otra que difiera de ella en una constante también servirá.