¿Qué proporción de los enteros positivos satisfacen $I(n^2) < (1 + \frac{1}{n})I(n)$ , donde $I(x)$ es el índice de abundancia de $x$ ?

Question

Dejemos que $\sigma(x)$ denota la función clásica de suma de divisores, y sea

$$I(x) = \frac{\sigma(x)}{x}$$

sea el índice de abundancia del número entero positivo $x$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿Qué proporción de los enteros positivos satisfacen

$$I(n^2) < (1 + \frac{1}{n})I(n),$$

si, además, sabemos que tanto $n$ y $n^2$ ¿son números deficientes?

Nótese que, trivialmente, tenemos $I(n) \leq I(n^2) \leq (I(n))^2$ para todos los enteros $n \geq 1$ .

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Gracias.

Answer 1

Dejemos que $d$ sea el menor divisor de $n^2$ que no divide $n$ . Entonces $I(n^2)>I(n)+\frac{1}{d}$ Por lo tanto, si $I(n^2)\leq(1+\frac{1}{n})I(n)$ entonces $d<\frac{I(n)}{n}$ .pero $I(n)=\mathcal{O}(\log\log n)$ Por lo tanto $d$ debe ser sorprendentemente grande. En particular, si $n$ tiene tres factores primos diferentes, entonces $d<n^{2/3}$ lo que da una contradicción para $n$ suficientemente grande. Si $n=p^aq^b$ entonces $d=\min(p^{a+1}, q^{b+1})$ y $I(n)\leq 3$ Por lo tanto $a=b=1$ y $p,q\approx\sqrt{n}$ Si $n=p^a$ entonces $$ \frac{I(n^2)}{I(n)}=\frac{p-p^{-2a}}{p-p^{-a}}= 1+\frac{p^{-a}-p^{-2a}}{p-p^{-a}}<1+p^{-a}. $$ Por lo tanto, los números enteros en cuestión son potencias primarias y cierto producto de dos primos de tamaño similar. La determinación precisa de "similar" debería ser posible mediante un cálculo sencillo pero largo.

Answer 2

Creo que se dará cuenta de que está buscando los primos y las potencias de los primos. Su densidad en los enteros hasta $N$ es esencialmente la misma que la densidad de primos, aproximadamente $\frac{1}{\ln N}$

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Para una primera potencia $q=p^e$ (incluyendo el caso $q=p^1$ ) tenemos $$\sigma(q)=\frac{pq-1}{p-1}.$$ Para $n=\prod_1^kq_i$ un producto de potencias de primos distintos tenemos $\sigma(n)=\prod_1^k\frac{p_iq_i-1}{p_i-1}$ y $\sigma(n^2)=\prod_1^k\frac{p_iq_i^2-1}{p_i-1}.$

Su condición es equivalente a $$(1+n)\sigma(n)-\sigma(n^2) \gt 0$$ que se convierte en $$\left(1+\prod_1^kq_i\right)\prod_1^k(p_iq_i-1)-\prod_1^k(p_iq_i^2-1) \gt 0$$

Esto es cierto para $k=1$ . No estoy muy seguro de cuál es la mejor manera de demostrar que falla por $k \gt 1$ pero parece claro que sí, podría ayudar a manipularlo para $$\prod_1^k(p_iq_i-1)+\prod_1^k(p_iq_i^2-q_i)-\prod_1^k(p_iq_i^2-1)\gt 0$$ y quizás luego a $$\prod_1^k(p_i-\frac{1}{q_i})+\prod_1^k(p_iq_i-1)-\prod_1^k(p_iq_i-\frac{1}{q_i})\gt 0.$$