Resolver $y'' - y/x + y = 0$

Question

Cómo puedes resolver la siguiente ecuación diferencial,

$$y'' - a\frac{y}{x} + by = 0,$$

O

$$y'' - y(\frac{a}{x} - b) = 0,$$

donde $a$ y $b$ son constantes.

Tenga en cuenta que no hay $y'$ - esto no es una ecuación diferencial de Bessel.

¿Existe una solución exacta para esta ecuación?

¿Qué método utilizaría usted?

Answer 1

Arce resuelve $y'' \left( x \right) + \left( {\frac {a}{x}}-b \right) y \left( x \right) =0$ en términos de Whittaker M y Whittaker W: $$ { C_1}\, {{\bf M}_{a/2\sqrt {b},1/2}\left(2\,\sqrt {b}x\right)} +{ C_2}\, {{\bf W}_{a/2\sqrt {b},1/2}\left(\sqrt {b}x\right)} $$ o en términos de Kummer M y Kummer U: $$ 2\,\sqrt {b}x {{\rm e}^{-\sqrt {b}x}}\left( {{\rm U}\left(1/2\,{\frac {2\,\sqrt {b}-a}{\sqrt {b}}},\,2,\,2\,\sqrt {b}x\right)} { C_2}+ {{\rm M}\left(1/2\,{\frac {2\,\sqrt {b}-a}{\sqrt {b}}},\,2,\,2\,\sqrt {b}x\right)} { C_1} \right) $$

Answer 2

Fíjate en eso, $x=0$ es un punto singular regular , entonces puede utilizar Método de Frobenius .