El lenguaje del álgebra abstracta en $ab=a, ab=b$ implica $a=b$

Question

Estoy tratando de entender mejor el lenguaje de una prueba básica en álgebra abstracta, a saber, que los grupos tienen una identidad única. La prueba se presenta como sigue: Sea $G$ sea un grupo y $a,b \in G$ sean elementos de identidad. Porque $a$ es una identidad, $ab=b$ . Porque $b$ es una identidad, $ab=a$ . Esto implica $a=b$ . Por lo tanto, como dos identidades cualesquiera son iguales, sólo hay una identidad en $G$ .

Creo que puedo entender el hecho fundamental de la prueba, pero no según el lenguaje anterior. Tengo que utilizar una prueba de contradicción: Supongamos que $G$ tiene dos identidades diferentes. Entonces la expresión $ab$ mapea a dos elementos diferentes, lo cual es imposible. Por lo tanto, $G$ sólo puede tener una identidad.

Me pregunto si alguien tiene sugerencias sobre cómo salvar la brecha entre mi comprensión actual de la prueba y una comprensión que haga uso del lenguaje de la prueba "oficial".

Answer 1

Ambas son formas equivalentes de demostrar que un conjunto no vacío $\rm\, S\,$ tiene un solo elemento

$\rm(1)\quad \forall\, a,b \in S\!:\ Hypotheses\ \Rightarrow\ a = b$

$\rm(2)\quad \forall\, a,b \in S\!:\ Hypotheses\ \ \&\ \ a\neq b\ \Rightarrow\ Contradiction$

Obsérvese que la segunda es simplemente la primera reformulada como una prueba por contradicción.

Answer 2

Se le da el hecho de que $ab=a$ y que $ab=b$ . Ahora $ab=ab$ ya que cada elemento es igual a sí mismo. Esto implica que $a=b$ donde la primera $ab$ se sustituye por $a$ y el segundo $ab$ por $b$ . Con esto se completa la prueba planteada.

Ahora bien, lo que has declarado como tu comprensión de la prueba es exactamente lo mismo que la prueba dada. Así que en lugar de intentar forzar una contradicción diciendo que $ab$ no puede mapear a dos elementos diferentes (donde el término mapa es ambiguo), tratamos de generar una contradicción en el sistema proporcionado mostrando que $a=b$ y por lo tanto no podemos tener dos inversos diferentes.