El lenguaje del álgebra abstracta en $ab=a, ab=b$ implica $a=b$

Question

Estoy tratando de entender mejor el lenguaje de una prueba básica en álgebra abstracta, a saber, que los grupos tienen una identidad única. La prueba se presenta como sigue: Sea $G$ sea un grupo y $a,b \in G$ sean elementos de identidad. Porque $a$ es una identidad, $ab=b$ . Porque $b$ es una identidad, $ab=a$ . Esto implica $a=b$ . Por lo tanto, como dos identidades cualesquiera son iguales, sólo hay una identidad en $G$ .

Creo que puedo entender el hecho fundamental de la prueba, pero no según el lenguaje anterior. Tengo que utilizar una prueba de contradicción: Supongamos que $G$ tiene dos identidades diferentes. Entonces la expresión $ab$ mapea a dos elementos diferentes, lo cual es imposible. Por lo tanto, $G$ sólo puede tener una identidad.

Me pregunto si alguien tiene sugerencias sobre cómo salvar la brecha entre mi comprensión actual de la prueba y una comprensión que haga uso del lenguaje de la prueba "oficial".

Answer 1

Esto se basa en el principio, cosas que son iguales a la misma cosa son a su vez iguales. Ambos $a$ y $b$ son iguales a $a b$ .

Answer 2

Puede ser un poco más fácil si se elimina el "por contradicción"

Supongamos que $a$ es un elemento de identidad de $G$ y $b$ es un elemento de identidad de $G$ . Entonces [sigue la prueba dada] y por lo tanto $a=b$ . Por lo tanto, si tenemos dos miembros de $G$ que son elementos de identidad, los dos miembros son de hecho el mismo. Esto implica que sólo hay una identidad.

Además, el argumento de la prueba dada es ligeramente incorrecto. $ab=a$ porque $b$ -- es una identidad, pero su prueba dice que es porque $a$ es una identidad.

Answer 3

Dejemos que $e$ sea el elemento neutro dado por los axiomas. Sea $e'$ estar en $G$ que satisface $xe'=xe'=x\ ,\ \forall x\in G$ también, entonces $e=ee'=e'$

Answer 4

Dejemos que $X$ denotan un conjunto, y $P$ denota un predicado unario sobre $X$ . Entonces, por definición, las siguientes frases son equivalentes.

1. Hay como máximo una $x \in X$ satisfaciendo $P$ .
2. Para todos $x,y \in X,$ tenemos que si ambos $x$ y $y$ satisfacer $P$ entonces $x=y$ .

Por lo tanto, para demostrar que todo grupo $G$ tiene como máximo un elemento de identidad, podemos proceder como sigue. Sea $x$ y $y$ denotan elementos fijos pero arbitrarios de $G$ satisfaciendo "Soy un elemento de identidad". Entonces demuestre que $x=y$ .

Eso es exactamente lo que ha hecho la prueba.

Answer 5

Creo que tu problema no es de álgebra, sino de lógica.

Cuando decimos, en inglés corriente: "Sólo hay un doohickey", esto puede interpretarse en lógica formal como o bien

Allí no existe $a$ y $b$ tal que $a\neq b$ y $a$ y $b$ son los dos "doohickeys". $$\text{symbolically:}\qquad \neg\exists a\exists b(a\neq b \land D(a) \land D(b)) \tag{1}$$

o

Para todos $a$ y $b$ se sostiene que si $a$ es una chorrada y $b$ es una chorrada, entonces $a=b$ . $$\text{symbolically:}\qquad \forall a\forall b(D(a)\land D(b) \implies a=b) \tag{2}$$

Es un ejercicio bastante sencillo de lógica simbólica mostrar que estas dos formalizaciones son de hecho lógicamente equivalente pero sugieren diferentes estrategias de prueba.

Su prueba preferida sigue la estructura de (1): Quieres demostrar que algo no es cierto, así que una prueba indirecta es el plan de ataque natural: Asumir el algo y llegar a una contradicción.

Sin embargo, los matemáticos tienden a favorecer la formulación (2): Podría decirse que está un poco más alejada de la intuición de la mayoría de la gente, porque depende de que los dos diferentes cartas $a$ y $b$ representan a la mismo cosa, pero eso no es un problema formal. Sin embargo, una vez que te acostumbras a eso, es una mejor manera de pensar en las propiedades "sólo hay una X", porque hay menos negaciones en ella y es natural demostrarlo directamente en lugar de indirectamente . Ver esta pregunta para explicar por qué es algo bueno.