¿el conjunto vacío y el conjunto entero pertenecen a cada semi álgebra?

Question

Mi intento:

Dejemos que $A$ entonces $A^c=\cup_{n=i}^{n}A_i$ , donde $A_1,A_2,...,A_n$ son conjuntos disjuntos en $R$ .

Desde $A , A_i\in R$ y $R$ es cerrado bajo intersección finita entonces $A\cap A_i\in R$ .

Por lo tanto, $\phi=A\cap A^c=\cup_{n=i}^{n} (A\cap A_i)$ , donde $A\cap A_i$ son conjuntos disjuntos en $R$ .

Desde $\phi$ es una unión finita de conjuntos disjuntos en $R$ entonces $\phi^c=\Omega\in R$ .

Pero ahora cómo demostrar que $\phi\in R$ ?

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un miembro de la semi-álgebra $R \neq \emptyset$ . Entonces $A^\complement$ es una unión disjunta de algunos $B_1, \ldots, B_n$ para un número finito de $n$ y todos $B_i \in R$ . Si $n=1$ entonces $A^\complement$ está en $R$ así que $A \cap A^\complement = \emptyset$ está en $R$ también. Si $ n \ge 2$ entonces $B_1 \cap B_2 = \emptyset \in R$ también, por la cerrazón bajo intersecciones finitas.

Así que $\Omega = \emptyset^\complement$ es también una unión disjunta finita de conjuntos $C_i \in R$ para $i=1,\ldots, m \in \Bbb N$ . De nuevo, si $m=1$ hemos terminado y $\Omega \in R$ . Si $m\ge 1$ No veo cómo avanzar hacia $\Omega \in R$ . Aplicar las intersecciones a la $C_i$ no tiene sentido y la propiedad de complemento tampoco les aporta nada nuevo.

Y $\{\emptyset, \{1\},\{2\}\}$ es una semi-álgebra en $\Omega=\{1,2\}$ sin $\Omega$ en él...