Objetivo: encontrar la cantidad de $4$ -Números enteros positivos con dígitos distintos, en los que la suma de los dos primeros dígitos es igual a la suma de los dos últimos.
En aras de la claridad:
- estos son ejemplos de números que se pueden encontrar: $1524,\ 9045,\ 3461$ ;
- estos son ejemplos de números que hay que evitar: $6161$ (los dígitos no son distintos), $7235$ ( $7$ + $2\ne 3$ + $5$ ), $0312$ (es un $3$ -número de dígitos).
Me gustaría resolver el ejercicio de manera probabilística/rigurosa. Pero hasta ahora sólo he podido utilizar el razonamiento.
Una forma de ver el problema es: "¿cuántas formas hay de obtener un número como suma de dos dígitos distintos?". Observa que la suma de dos dígitos distintos es al menos $1\ (0+1)$ y al máximo $17\ (8+9)$ Además, observe que necesitamos al menos dos formas de obtener un número porque tenemos dos pares de dígitos distintos, por lo que podemos descartar los números $1,2,16$ y $17$ porque sólo pueden obtenerse de una manera $(0+1,\ 0+2,\ 7+9$ y $8+9$ respectivamente).
Es fácil ver cuántas formas hay de obtener un número una suma de dos dígitos distintos, por ejemplo $3=0+3=1+2\ (2 \text{ ways}),\ 4=0+4=1+3\ (2),\ 5=0+5=1+4=2+3\ (3)$ y así sucesivamente. Observa que si fijamos el primer par de dígitos y su suma es $s$ las formas restantes de conseguir $s$ son $\text{"number of ways to get s"}-1$ porque $1$ camino ya estaba tomado por los dos primeros dígitos.
Se deduce que, excluyendo el camino tomado por el primer par de dígitos, el número de formas de obtener los números $3,4,...,15$ como suma de dos dígitos distintos son: $3\ (1),\ 4\ (1),\ 5\ (2),\ 6\ (2),\ 7\ (3),\ 8\ (3),\ 9\ (4),\ 10\ (3),\ 11\ (3),\ 12\ (2),\ 13\ (2),\ 14\ (1),\ 15\ (1)$ .
Digamos que queremos encontrar todos los números de cuatro cifras con la primera cifra igual a $2$ y tal que la suma de los dos primeros dígitos es igual a la suma de los dos últimos. El segundo dígito puede ser $1,3,...,9$ (no puede ser $2$ porque los dígitos tienen que ser distintos, no pueden ser $0$ por lo que dijimos antes sobre los números descartados), por lo que la suma de los dos primeros dígitos puede ser $3,5,...,11$ . Ahora, para obtener la cantidad de números de cuatro cifras distintas sabiendo que la primera cifra es $2$ y que la suma de los dos primeros dígitos es igual a la suma de los dos últimos dígitos, simplemente tenemos que sumar todas las formas posibles para obtener los números $3,5,...,11$ y multiplicar el resultado por $2$ (porque si cambiamos el tercer dígito por el último obtenemos un número diferente, por ejemplo si fijamos que el primer par de dígitos sea $2$ y $1$ Sólo queda una forma de conseguir $3$ ( $0+3$ ) pero podemos costruir dos números diferentes utilizando $0$ y $3$ : $2103$ y $2130$ ): $1+2+2+3+3+4+3+3=21$ y $21\cdot2=42$ .
Si el primer dígito es $1$ la suma de los dos primeros dígitos puede ser $3,4,...,10$ , por lo que hay $(1+1+2+2+3+3+4+3)\cdot2=19\cdot2=38$ números enteros positivos de cuatro dígitos con cifras distintas, primer dígito $1$ y tal que la suma de los dos primeros dígitos es igual a la suma de los dos últimos.
Si el primer dígito es $3$ obtenemos $(1+1+2+3+3+4+3+3+2)\cdot2=22\cdot2=44$ números de cuatro dígitos.
Si el primer dígito es $4$ obtenemos $(1+2+2+3+4+3+3+2+2)\cdot2=22\cdot2=44$ números de cuatro dígitos.
Si el primer dígito es $5$ obtenemos $(2+2+3+3+4+3+2+2+1)\cdot2=22\cdot2=44$ números de cuatro dígitos.
Si el primer dígito es $6$ obtenemos $(2+3+3+4+3+3+2+1+1)\cdot2=22\cdot2=44$ números de cuatro dígitos.
Si el primer dígito es $7$ obtenemos $(3+3+4+3+3+2+2+1)\cdot2=21\cdot2=42$ números de cuatro dígitos.
Si el primer dígito es $8$ obtenemos $(3+4+3+3+2+2+1+1)\cdot2=19\cdot2=38$ números de cuatro dígitos.
Si el primer dígito es $9$ obtenemos $(4+3+3+2+2+1+1)\cdot2=16\cdot2=32$ números de cuatro dígitos.
Así que la cantidad total parece ser $368$ .
Hay algunos problemas con este razonamiento: no se puede aplicar a diferentes ejercicios, no se puede escribir en un test de probabilidad porque no utiliza la manera probabilística, necesita mucho tiempo para hacerse, y lo más importante, no sabemos si el resultado es correcto ya que el razonamiento no es riguroso.
Entonces, ¿cuál es la forma adecuada de resolverlo?
