Obtención del pmf de una función conociendo su mgf

Question

$ \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} $ El problema: Este problema se presenta como ejercicio 4 en el capítulo 3 de Un curso intermedio de probabilidad , por Allen Gut. Dado que $Y$ es un v.r. con $$ \E\left[Y^k\right] = \frac 1 4 + 2^{k-1}, \forall k \in \Z^+ $$ buscamos encontrar la distribución de $Y$ , es decir, su pmf.

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Intentos/Contexto:

Este capítulo del texto se centra en los fundamentos de las funciones generadoras de probabilidad y de momento, y en las funciones características. Al buscar en Google, se sugiere que uno puede ser capaz de recuperar la pmf de estos mediante el uso de transformadas inversas de Fourier o Laplace, pero esos parecen un poco demasiado para ser realmente kosher.

Ahora, calculando el mgf $\psi_Y$ de $Y$ al menos es bastante trivial porque sabemos

$$\psi_Y(t) = 1 + \sum_{n \ge 1} \frac{t^n}{n!} \cdot \E \left[ Y^n \right]$$

y, omitiendo el álgebra para simplificar, vemos que el mgf de nuestra v.r. dada $Y$ es

$$\psi_Y(t) = \frac 1 4 + \frac 1 4 e^t + \frac 1 2 e^{2t}$$

Otras búsquedas en Google sugieren que, debido a este patrón, podemos concluir que

$$\P(Y=y) = \begin{cases} 1/4 & y = 0, 1 \\ 1/2 & y = 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

que coincide con la respuesta del texto. En general, si tuviéramos, digamos,

$$\psi_X(t) = \sum \alpha_k e^{kt}$$

con $\sum \alpha_k = 1$ entonces supongo que el patrón sería que $\P(X=k) = \alpha_k$ .

Sin embargo, este patrón tampoco se menciona en el texto, y no estoy seguro de cómo justificar esto desde una perspectiva más elemental.

¿Puede alguien darme ideas sobre cómo obtener correctamente esta respuesta? Tal vez haya algún uso fácil de la definición, o un teorema que esté pasando por alto...

Answer 1

Sí, ¡ya casi has terminado! La parte difícil fue computar que $$ \psi_Y(t) = \frac 1 4 + \frac 1 4 e^t + \frac 1 2 e^{2t}; \tag{$ \N - El brindis $}$$ y recordar que la definición de la función generadora de momentos es $$ \psi_Y(t) = \mathbb{E}(e^{ty}) .$$ Ahora, como estamos encontrando una pmf entonces tenemos una variable aleatoria discreta y por eso apelamos a la definición discreta de $\psi_Y(t)$ . Es decir, $$ \psi_Y(t) = \mathbb{E}(e^{ty}) = \sum_{y=0}^\infty e^{ty}\,\mathbb{P}(Y=y). $$ Pero esto debe ser coherente con $(\ast)$ y así, $$\sum_{y=0}^\infty e^{ty}\,\mathbb{P}(Y=y) = \frac 1 4 + \frac 1 4 e^t + \frac 1 2 e^{2t}. $$ Supongamos que sólo calculamos el primer término de nuestra suma, esto nos dice que $ e^{0\cdot y}\,\mathbb{P}(Y=0) = \mathbb{P}(Y=0). $

Del mismo modo, calculamos el segundo término de nuestra suma para obtener $ e^{1\cdot y}\,\mathbb{P}(Y=1) = e^y\,\mathbb{P}(Y=1). $

Por último, calculamos el tercer término para obtener $ e^{2\cdot y}\,\mathbb{P}(Y=2) = e^{2y}\,\mathbb{P}(Y=2). $

Todo lo que tenemos que hacer ahora es equiparar los coeficientes de $e^{ty}$ para darnos el pmf requerido. Es decir, $$ \mathbb{P}(Y=0) + e^t\,\mathbb{P}(Y=1) + e^{2t}\,\mathbb{P}(Y=2) + \sum_{y=3}^\infty e^{ty}\,\mathbb{P}(Y=y) = \frac 1 4 + \frac 1 4 e^t + \frac 1 2 e^{2t}.$$ Descartamos $y\geq 3$ ya que todos los coeficientes de estos términos son $0$ .